Zufallsvariablen vs. Wahrscheinlichkeitsverteilung
Statistische Experimente sind Zufallsexperimente, die mit bekannten Ergebnissen unbegrenzt wiederholt werden können. Mit solchen Experimenten sind sowohl Zufallsvariablen als auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen verbunden. Für jede Zufallsvariable gibt es eine zugeordnete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch eine Funktion namens kumulative Verteilungsfunktion definiert ist.
Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines statistischen Experiments numerische Werte zuweist. Mit anderen Worten, es ist eine Funktion, die aus dem Stichprobenraum eines statistischen Experiments in die Menge der reellen Zahlen hinein definiert wird.
Stellen Sie sich zum Beispiel ein Zufallsexperiment vor, bei dem eine Münze zweimal geworfen wird. Die möglichen Ergebnisse sind HH, HT, TH und TT (H – Heads, T – Tales). Die Variable X sei die Anzahl der im Experiment beobachteten Köpfe. Dann kann X die Werte 0, 1 oder 2 annehmen und ist eine Zufallsvariable. Hier bildet die Zufallsvariable X die Menge S={HH, HT, TH, TT} (den Abtastraum) so auf die Menge {0, 1, 2} ab, dass HH auf 2, HT und TH abgebildet wird werden auf 1 abgebildet und TT wird auf 0 abgebildet. In Funktionsnotation kann dies geschrieben werden als X: S → R, wobei X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 und X(TT)=0.
Es gibt zwei Arten von Zufallsvariablen: diskrete und stetige, dementsprechend ist die Anzahl der möglichen Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, höchstens zählbar oder nicht. Im vorherigen Beispiel ist die Zufallsvariable X eine diskrete Zufallsvariable, da {0, 1, 2} eine endliche Menge ist. Betrachten Sie nun das statistische Experiment zum Ermitteln der Gewichtung von Schülern in einer Klasse. Sei Y die Zufallsvariable, die als Gewicht eines Schülers definiert ist. Y kann innerhalb eines bestimmten Intervalls jeden reellen Wert annehmen. Daher ist Y eine stetige Zufallsvariable.
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass eine Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt.
Eine Funktion namens kumulative Verteilungsfunktion (F) kann von der Menge reeller Zahlen zu der Menge reeller Zahlen definiert werden als F(x)=P(X ≤ x) (die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als oder ist gleich x) für jedes mögliche Ergebnis x. Nun kann die kumulative Verteilungsfunktion von X im ersten Beispiel geschrieben werden als F(a)=0, falls a<0; F(a)=0,25, wenn 0≤a<1; F(a)=0.75, wenn 1≤a<2 und F(a)=1, wenn a≥2.
Bei diskreten Zufallsvariablen kann eine Funktion aus der Menge der möglichen Ergebnisse auf die Menge der reellen Zahlen so definiert werden, dass ƒ(x)=P(X=x) (die Wahrscheinlichkeit von X gleich x) für jedes mögliche Ergebnis x. Diese spezielle Funktion ƒ wird die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Zufallsvariablen X genannt. Nun kann die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X im ersten bestimmten Beispiel als ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 und sonst ƒ(x)=0 geschrieben werden. Somit beschreibt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X im ersten Beispiel.
Im Fall von kontinuierlichen Zufallsvariablen kann eine Funktion namens Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (ƒ) definiert werden als ƒ(x)=dF(x)/dx für jedes x, wobei F die kumulative Verteilungsfunktion von ist stetige Zufallsvariable. Es ist leicht zu sehen, dass diese Funktion ∫ƒ(x)dx=1 erfüllt. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt zusammen mit der Summenverteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Beispielsweise wird die Normalverteilung (die eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist) mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Was ist der Unterschied zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung?
• Zufallsvariable ist eine Funktion, die Werte eines Abtastraums einer reellen Zahl zuordnet.
• Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, mit der jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeit verknüpft.
