Unterschied zwischen Power Series und Taylor Series

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 13:35

Power-Serie gegen Taylor-Serie

In der Mathematik ist eine reelle Folge eine geordnete Liste reeller Zahlen. Formal ist es eine Funktion von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen. Wenn a_n der n^te Term einer Folge ist, bezeichnen wir die Folge mit oder mit einem ₁, a ₂, …, a_n, …. Betrachten Sie zum Beispiel die Folge 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Es kann als {1/n} bezeichnet werden.}

Es ist möglich, eine Serie durch Sequenzen zu definieren. Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge. Daher gibt es für jede Sequenz eine zugehörige Sequenz und umgekehrt. Wenn {an} _{die betrachtete Folge ist, dann kann die durch diese Folge gebildete Reihe dargestellt werden als:}

Im obigen Beispiel ist die zugehörige Reihe also 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Wie der Name schon sagt, ist die Potenzreihe eine spezielle Art von Reihe und wird in der Numerischen Analyse und verwandten mathematischen Modellen ausgiebig verwendet. Die Taylor-Reihe ist eine spezielle Potenzreihe, die eine alternative und einfach zu handhabende Möglichkeit bietet, bekannte Funktionen darzustellen.

Was ist eine Potenzreihe?

Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form

die (möglicherweise) für ein Intervall konvergiert, das bei c zentriert ist. Die Koeffizienten a_{nkönnen reelle oder komplexe Zahlen sein und sind unabhängig von x; d.h. die Dummy-Variable.}

Zum Beispiel, indem a_n=1 für jedes n und c=0 gesetzt wird, wird die Potenzreihe 1+x+x² +…..+ x^{+… wird erh alten. Es ist leicht zu beobachten, dass diese Potenzreihe für x ε (-1, 1) gegen 1/(1-x) konvergiert.}

Eine Potenzreihe konvergiert, wenn x=c. Die anderen Werte von x, für die die Potenzreihe konvergiert, nehmen immer die Form eines offenen Intervalls an, das bei c zentriert ist. Das heißt, es gibt einen Wert 0 ≤ R ≤ ∞, so dass für jedes x, das |x-c|≤ R erfüllt, die Potenzreihe konvergent ist und für jedes x, das |x-c|> R erfüllt, die Potenzreihe divergent ist. Dieser Wert R wird als Konvergenzradius der Potenzreihe bezeichnet (R kann jeden reellen Wert oder positiv unendlich annehmen).

Potenzreihen können nach den folgenden Regeln addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Betrachten Sie die beiden Potenzreihen:

Dann,

d.h. gleiche Terme werden addiert oder subtrahiert. Außerdem ist es möglich, die beiden Potenzreihen mit der Identitätzu multiplizieren und zu dividieren

Was ist eine Taylorreihe?

Taylor-Reihe ist für eine Funktion f (x) definiert, die auf einem Intervall unendlich differenzierbar ist. Angenommen, f (x) ist auf einem bei c zentrierten Intervall differenzierbar. Dann die Potenzreihe, die gegeben ist durch

heißt Taylorreihenentwicklung der Funktion f (x) um c. (Hier bezeichne f(n) ^{(c) die n}-te ^{-Ableitung bei x=c). In der numerischen Analyse wird eine endliche Anzahl von Termen in dieser unendlichen Erweiterung verwendet, um Werte an Punkten zu berechnen, an denen die Reihe zur ursprünglichen Funktion konvergiert.}

Eine Funktion f (x) heißt analytisch im Intervall (a, b), wenn für jedes x ε (a, b) die Taylorreihe von f (x) gegen die Funktion f (x). Zum Beispiel ist 1/(1-x) auf (-1, 1) analytisch, da seine Taylorentwicklung 1+x+x²+….+ x ^{ist +… konvergiert gegen die Funktion auf diesem Intervall, und e}x ^{ist überall analytisch, da die Taylorreihe von e}x ^{gegen e} konvergiert x ^{für jede reelle Zahl x.}

Was ist der Unterschied zwischen Potenzreihen und Taylorreihen?

1. Taylorreihen sind eine spezielle Klasse von Potenzreihen, die nur für Funktionen definiert sind, die auf einem offenen Intervall unendlich differenzierbar sind.

2. Taylor-Reihen haben die spezielle Form

während eine Potenzreihe jede beliebige Reihe der Form sein kann