Lineare vs. nichtlineare Differentialgleichungen
Eine Gleichung, die mindestens einen Differentialkoeffizienten oder eine Ableitung einer unbekannten Variablen enthält, wird als Differentialgleichung bezeichnet. Eine Differentialgleichung kann entweder linear oder nichtlinear sein. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, zu erklären, was eine lineare Differentialgleichung ist, was eine nichtlineare Differentialgleichung ist und was der Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen ist.
Seit der Entwicklung der Analysis im 18. Jahrhundert durch Mathematiker wie Newton und Leibnitz spielt die Differentialgleichung eine wichtige Rolle in der Geschichte der Mathematik. Differentialgleichungen sind in der Mathematik wegen ihrer vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten von großer Bedeutung. Differentialgleichungen sind das Herzstück jedes Modells, das wir entwickeln, um jedes Szenario oder Ereignis auf der Welt zu erklären, sei es in Physik, Ingenieurwesen, Chemie, Statistik, Finanzanalyse oder Biologie (die Liste ist endlos). Bis die Infinitesimalrechnung zu einer etablierten Theorie wurde, waren tatsächlich keine geeigneten mathematischen Werkzeuge verfügbar, um die interessanten Probleme in der Natur zu analysieren.
Resultierende Gleichungen aus einer bestimmten Anwendung der Infinitesimalrechnung können sehr komplex und manchmal nicht lösbar sein. Es gibt jedoch einige, die wir lösen können, die aber ähnlich und verwirrend aussehen können. Daher werden Differentialgleichungen zur einfacheren Identifizierung nach ihrem mathematischen Verh alten kategorisiert. Linear und nichtlinear ist eine solche Kategorisierung. Es ist wichtig, den Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen zu erkennen.
Was ist eine lineare Differentialgleichung?
Angenommen f: X→Y und f(x)=y, eine Differentialgleichung ohne nichtlineare Terme der unbekannten Funktion y und ihrer Ableitungen heißt lineare Differentialgleichung.
Es stellt die Bedingung, dass y keine höheren Indexbegriffe wie y2, y3, … und Vielfache von Ableitungen wie z als
Es darf auch keine nichtlinearen Terme wie Sin y, e y ^-2 oder ln y enth alten. Es hat die Form
wobei y und g Funktionen von x sind. Die Gleichung ist eine Differentialgleichung der Ordnung n, die der Index der Ableitung höchster Ordnung ist.
In einer linearen Differentialgleichung ist der Differentialoperator ein linearer Operator und die Lösungen bilden einen Vektorraum. Aufgrund der Linearität der Lösungsmenge ist auch eine Linearkombination der Lösungen eine Lösung der Differentialgleichung. Das heißt, wenn y1 und y2 Lösungen der Differentialgleichung sind, dann ist C1 y 1+ C2 y2 ist auch eine Lösung.
Die Linearität der Gleichung ist nur ein Parameter der Klassifizierung und kann weiter in homogene oder inhomogene und gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen eingeteilt werden. Wenn die Funktion g=0 ist, dann ist die Gleichung eine lineare homogene Differentialgleichung. Wenn f eine Funktion von zwei oder mehr unabhängigen Variablen ist (f: X, T→Y) und f(x, t)=y, dann ist die Gleichung eine lineare partielle Differentialgleichung.
Lösungsverfahren für die Differentialgleichung ist abhängig von der Art und den Koeffizienten der Differentialgleichung. Der einfachste Fall tritt auf, wenn die Koeffizienten konstant sind. Klassisches Beispiel für diesen Fall ist Newtons zweites Bewegungsgesetz und seine verschiedenen Anwendungen. Das zweite Newtonsche Gesetz erzeugt eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Was ist eine nichtlineare Differentialgleichung?
Gleichungen, die nichtlineare Terme enth alten, werden als nichtlineare Differentialgleichungen bezeichnet.
Alle obigen sind nichtlineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Differentialgleichungen sind schwer zu lösen, daher ist eine genaue Untersuchung erforderlich, um eine korrekte Lösung zu erh alten. Bei partiellen Differentialgleichungen haben die meisten Gleichungen keine allgemeine Lösung. Daher muss jede Gleichung einzeln behandelt werden.
Navier-Stokes-Gleichung und Euler-Gleichung in der Fluiddynamik, Einsteins Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie sind bekannte nichtlineare partielle Differentialgleichungen. Manchmal kann die Anwendung der Lagrange-Gleichung auf ein variables System zu einem System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen führen.
Was ist der Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen?
• Eine Differentialgleichung, die nur die linearen Terme der unbekannten oder abhängigen Variablen und ihrer Ableitungen enthält, wird als lineare Differentialgleichung bezeichnet. Es hat keinen Term mit der abhängigen Indexvariable größer als 1 und enthält keine Vielfachen seiner Ableitungen. Sie darf keine nichtlinearen Funktionen wie trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion und logarithmische Funktionen in Bezug auf die abhängige Variable haben. Jede Differentialgleichung, die oben genannte Terme enthält, ist eine nichtlineare Differentialgleichung.
• Lösungen von linearen Differentialgleichungen erzeugen einen Vektorraum und der Differentialoperator ist auch ein linearer Operator im Vektorraum.
• Lösungen von linearen Differentialgleichungen sind relativ einfacher und es gibt allgemeine Lösungen. Für nichtlineare Gleichungen existiert in den meisten Fällen keine allgemeine Lösung, und die Lösung kann problemspezifisch sein. Dies macht die Lösung viel schwieriger als die linearen Gleichungen.
