Reelle Zahlen vs. Imaginäre Zahlen
Zahlen sind mathematische Objekte, die zum Zählen und Messen verwendet werden. Die Definition hat sich im Laufe der Jahre durch die Hinzufügung von Null, negativen Zahlen, rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen und imaginären Zahlen geändert. Auch wenn sich die abstrakte Grundlage von Zahlensystemen auf algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper bezieht, wird hier nur eine intuitive Vorstellung präsentiert.
Was ist eine reelle Zahl?
Informell definiert ist eine reelle Zahl eine Zahl, deren Quadrat nicht negativ ist. In mathematischer Notation bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen mit dem Symbol R. Daher ist für alle x, wenn x ϵ R, x 2 ≥ 0. Strenger kann man mit der binären Operation die Menge der reellen Zahlen als eindeutigen, vollständigen, total geordneten Körper einführen + und. zusammen mit der Ordnungsrelation <. Diese Ordnungsrelation folgt dem Trichotomiegesetz, das besagt, dass bei zwei reellen Zahlen x und y nur eine dieser 3 gilt; x > y, x < y oder x=y.
Eine reelle Zahl kann entweder algebraisch oder transzendent sein, je nachdem, ob sie eine Wurzel einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist oder nicht. Außerdem kann eine reelle Zahl entweder rational oder irrational sein, je nachdem, ob sie als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann oder nicht. Zum Beispiel ist 2,5 eine reelle Zahl, die algebraisch und rational ist, aber ᴫ ist sowohl irrational als auch transzendent.
Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig. Dies bedeutet, dass für jede nicht leere Teilmenge von reellen Zahlen, die nach oben begrenzt ist, eine kleinste obere Grenze hat, und daraus kann abgeleitet werden, dass für jede nicht leere Teilmenge von reellen Zahlen, die nach unten begrenzt ist, die größte untere Grenze hat. Dies unterscheidet die Menge der reellen Zahlen von der Menge der rationalen Zahlen. Man kann argumentieren, dass die Menge der reellen Zahlen aufgebaut wird, indem die Lücken der Menge der unvollständigen rationalen Zahlen gefüllt werden, wobei die Lücken irrationale Zahlen sind.
Was ist eine imaginäre Zahl?
Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat negativ ist. Mit anderen Worten, Zahlen wie √(-1), √(-100) und √(- e) sind imaginäre Zahlen. Alle imaginären Zahlen können in der Form a i geschrieben werden, wobei i die „imaginäre Einheit“√(-1) und a eine reelle Zahl ungleich Null ist. (Beachten Sie, dass i2=-1). Obwohl diese Zahlen nicht real zu sein scheinen und wie der Name schon sagt, nicht existent sind, werden sie in vielen wesentlichen Anwendungen der realen Welt verwendet, in Bereichen wie Luftfahrt, Elektronik und Ingenieurwesen.
Was ist der Unterschied zwischen reellen Zahlen und imaginären Zahlen?• Das Quadrat einer reellen Zahl ist nicht negativ, aber das Quadrat einer imaginären Zahl ist negativ. • Die Menge der reellen Zahlen bildet einen vollständig geordneten Körper, während die Menge der imaginären Zahlen weder vollständig noch geordnet ist. |
