Unterschied zwischen Binomial- und Normalverteilung

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 13:35

Binomial vs. Normalverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen spielen in der Statistik eine wichtige Rolle. Von diesen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die Binomialverteilung und die Normalverteilung zwei der im wirklichen Leben am häufigsten vorkommenden.

Was ist eine Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der Zufallsvariablen X entspricht, die die Anzahl der Erfolge einer endlichen Folge von unabhängigen Ja/Nein-Experimenten ist, von denen jedes eine Erfolgswahrscheinlichkeit p hat. Aus der Definition von X geht hervor, dass es sich um eine diskrete Zufallsvariable handelt; Daher ist auch die Binomialverteilung diskret.

Die Verteilung wird als X ~ B (n, p) bezeichnet, wobei n die Anzahl der Experimente und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist. Gemäß der Wahrscheinlichkeitstheorie können wir ableiten, dass B (n, p) der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Aus dieser Gleichung lässt sich weiter ableiten, dass der Erwartungswert von X, E(X)=np und die Varianz von X, V(X)=np (1- p).

Stellen Sie sich zum Beispiel ein Zufallsexperiment vor, bei dem eine Münze dreimal geworfen wird. Definieren Sie Erfolg als Erzielung von H, Misserfolg als Erzielung von T und die Zufallsvariable X als die Anzahl der Erfolge im Experiment. Dann ist X ~ B (3, 0,5) und die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X gegeben durch [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 H zu erh alten, P(X ≥ 2)=P (X=2 oder X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0.5²)(0.5¹) + ³ C₃(0.5³)(0.5^{0)=0.375 + 0.125=0.5.}

Was ist Normalverteilung?

Normalverteilung ist die kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Die Parameter [latex] \mu und \\sigma [/latex] bezeichnen den Mittelwert und die Standardabweichung der interessierenden Grundgesamtheit. Wenn [latex] \mu=0 und \\sigma=1 [/latex] ist, wird die Verteilung als Standardnormalverteilung bezeichnet.

Diese Verteilung wird als normal bezeichnet, da die meisten natürlichen Phänomene der Normalverteilung folgen. Beispielsweise ist der IQ der menschlichen Bevölkerung normalverteilt. Wie aus der Grafik ersichtlich, ist sie unimodal, symmetrisch um den Mittelwert und glockenförmig. Mittelwert, Modus und Median stimmen überein. Die Fläche unter der Kurve entspricht dem Anteil der Bevölkerung, der eine gegebene Bedingung erfüllt.

Die Bevölkerungsanteile im Intervall [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] sind etwa 68,2 %, 95,6 % und 99,8 % bzw.

Was ist der Unterschied zwischen Binomial- und Normalverteilung?

• Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, während die Normalverteilung eine stetige ist.
• Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung ist [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], während die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ist ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Binomialverteilung wird unter bestimmten Bedingungen durch Normalverteilung angenähert, aber nicht umgekehrt.