Unterschied zwischen Bernoulli und Binomial

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 13:35

Bernoulli gegen Binomial

Sehr oft stoßen wir im wirklichen Leben auf Ereignisse, die nur zwei Ergebnisse haben, auf die es ankommt. Zum Beispiel bestehen wir entweder ein Vorstellungsgespräch, dem wir gegenüberstanden, oder bestehen dieses Vorstellungsgespräch nicht, entweder startet unser Flug pünktlich oder er hat Verspätung. In all diesen Situationen können wir das Wahrscheinlichkeitskonzept „Bernoulli-Versuche“anwenden.

Bernoulli

Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen mit Wahrscheinlichkeiten p und q; wo p+q=1, wird zu Ehren von James Bernoulli (1654-1705) Bernoulli-Prozesse genannt. Am häufigsten werden die beiden Ergebnisse des Experiments als „Erfolg“oder „Fehler“bezeichnet.

Zum Beispiel, wenn wir überlegen, eine Münze zu werfen, gibt es zwei mögliche Ergebnisse, die als „Kopf“oder „Zahl“bezeichnet werden. Wenn wir daran interessiert sind, dass der Kopf fällt; die Erfolgswahrscheinlichkeit ist 1/2, was als P (Erfolg)=1/2 bezeichnet werden kann, und die Misserfolgswahrscheinlichkeit ist 1/2. Ähnlich, wenn wir zwei Würfel werfen, wenn wir nur daran interessiert sind, dass die Summe von zwei Würfeln 8 ist, P (Erfolg)=5/36 und P (Misserfolg)=1- 5/36=31/36.

Ein Bernoulli-Prozess ist ein unabhängiges Auftreten einer Folge von Bernoulli-Versuchen; daher bleibt die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch gleich. Zusätzlich beträgt die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns für jeden Versuch 1-P(Erfolg).

Da die einzelnen Spuren unabhängig voneinander sind, kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Bernoulli-Prozess berechnet werden, indem das Produkt aus Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten genommen wird. Wenn beispielsweise die Erfolgswahrscheinlichkeit [P(S)] mit p bezeichnet wird und die Fehlerwahrscheinlichkeit [P(F)] mit q bezeichnet wird; dann P(SSSF)=p³q und P(FFSS)=p²q²

Binomial

Bernoulli-Versuche führen zu einer Binomialverteilung. Meistens werden die beiden Begriffe „Bernoulli“und „Binomial“verwechselt. Die Binomialverteilung ist eine Summe unabhängiger und gleichmäßig verteilter Bernoulli-Versuche. Die Binomialverteilung wird durch die Notation b(k;n, p) bezeichnet; b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, wobei C(n, k) bekannt ist als der Binomialkoeffizient. Der Binomialkoeffizient C(n, k) kann mit der Formel n!/k!(n-k)!. berechnet werden.}

Zum Beispiel, wenn eine Sofortlotterie mit 25% Gewinnscheinen an 10 Personen verkauft wird, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinnschein zu kaufen, b(1;10, 0,25)=C(10, 1)(0,25)(0,75)^{9 ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169}

Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli und Binomial?

• Die Bernoulli-Studie ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen.
• Binomialexperiment ist eine Folge von Bernoulli-Versuchen, die unabhängig voneinander durchgeführt werden.