Gaußsche vs. Normalverteilung
In erster Linie werden die Normalverteilung und die Gaußsche Verteilung verwendet, um auf dieselbe Verteilung zu verweisen, die vielleicht die am häufigsten anzutreffende Verteilung in der statistischen Theorie ist.
Für eine Zufallsvariable x mit Gauß- oder Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion P(x)=[1/(σ√2π)] e^(-(x-µ)2 /2σ2); wobei µ der Mittelwert und σ die Standardabweichung ist. Der Definitionsbereich der Funktion ist (-∞, +∞). Wenn es aufgetragen wird, ergibt es die berühmte Glockenkurve, wie sie in den Sozialwissenschaften oft genannt wird, oder eine Gaußsche Kurve in den Naturwissenschaften. Normalverteilungen sind eine Unterklasse der elliptischen Verteilungen. Sie kann auch als Grenzfall der Binomialverteilung betrachtet werden, bei der die Stichprobengröße unendlich ist.
Die Normalverteilung hat sehr einzigartige Eigenschaften. Bei einer Normalverteilung sind Mittelwert, Modus und Median gleich, also µ. Die Schiefe und die Kurtosis sind null, und es ist die einzige absolut kontinuierliche Verteilung, bei der alle Kumulanten über die ersten beiden hinaus (Mittelwert und Varianz) null sind. Sie ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit maximaler Entropie für beliebige Werte der Parameter µ und σ2. Die Normalverteilung basiert auf dem zentralen Grenzwertsatz und kann anhand praktischer Ergebnisse nach den Annahmen verifiziert werden.
Die Normalverteilung lässt sich mit einer Transformation z=(X-µ)/σ normieren, die sie in eine Verteilung mit µ=0 und σ=σ umwandelt2=1. Diese Transformation ermöglicht eine einfache Bezugnahme auf die standardisierten Wertetabellen und erleichtert die Lösung von Problemen bezüglich der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und der Summenverteilungsfunktion.
Anwendungen der Normalverteilung können in drei Klassen eingeteilt werden. Exakte Normalverteilungen, angenäherte Normalverteilungen und modellierte oder angenommene Normalverteilungen. Exakte Normalverteilungen kommen in der Natur vor. Die Geschwindigkeit der Hochtemperatur- oder idealen Gasmoleküle und der Grundzustand der harmonischen Quantenoszillatoren zeigen Normalverteilungen. Annäherungsweise Normalverteilungen treten in vielen Fällen auf, die durch den zentralen Grenzwertsatz erklärt werden. Die binomiale Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Poisson-Verteilung, die diskret bzw. kontinuierlich sind, zeigen bei sehr hohen Stichprobenumfängen eine Ähnlichkeit mit der Normalverteilung.
In der Praxis gehen wir bei den meisten statistischen Experimenten davon aus, dass die Verteilung normal ist, und die folgende Modelltheorie basiert auf dieser Annahme. Dadurch können die Parameter für die Grundgesamtheit leicht berechnet werden und der Inferenzprozess wird einfacher.
Was ist der Unterschied zwischen der Gaußschen Verteilung und der Normalverteilung?
• Die Gaußsche Verteilung und die Normalverteilung sind ein und dasselbe.
