Abhängige vs. unabhängige Ereignisse
In unserem täglichen Leben begegnen wir Ereignissen mit Ungewissheit. Zum Beispiel die Chance, eine Lotterie zu gewinnen, die Sie kaufen, oder die Chance, die Stelle zu bekommen, auf die Sie sich beworben haben. Die grundlegende Wahrscheinlichkeitstheorie wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert, mathematisch zu bestimmen. Wahrscheinlichkeit ist immer mit Zufallsexperimenten verbunden. Ein Experiment mit mehreren möglichen Ergebnissen wird als Zufallsexperiment bezeichnet, wenn das Ergebnis eines einzelnen Versuchs nicht im Voraus vorhergesagt werden kann. Abhängige und unabhängige Ereignisse sind Begriffe, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet werden.
Ein Ereignis B heißt unabhängig von einem Ereignis A, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, nicht davon beeinflusst wird, ob A eingetreten ist oder nicht. Einfach gesagt sind zwei Ereignisse unabhängig, wenn das Ergebnis des einen die Eintrittswahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses nicht beeinflusst. Mit anderen Worten, B ist unabhängig von A, wenn P(B)=P(B|A). Ebenso ist A unabhängig von B, wenn P(A)=P(A|B). Hier bezeichnet P(A|B) die bedingte Wahrscheinlichkeit A unter der Annahme, dass B eingetreten ist. Wenn wir das Rollen von zwei Würfeln betrachten, hat eine Zahl, die in einem Würfel erscheint, keine Auswirkung auf das, was im anderen Würfel gewürfelt wurde.
Für zwei beliebige Ereignisse A und B in einem Abtastraum S; die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt dass B eingetreten ist, ist P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Wenn also Ereignis A unabhängig von Ereignis B ist, dann impliziert P(A)=P(A|B), dass P(A∩B)=P(A) x P(B). Wenn P(B)=P(B|A), dann gilt P(A∩B)=P(A) x P(B). Daraus können wir schließen, dass die beiden Ereignisse A und B genau dann unabhängig sind, wenn die Bedingung P(A∩B)=P(A) x P(B) gilt.
Nehmen wir an, wir würfeln und werfen gleichzeitig eine Münze. Dann ist die Menge aller möglichen Ergebnisse oder der Stichprobenraum S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T) }. Sei Ereignis A das Ereignis „Kopf“, dann ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, P(A) 6/12 oder 1/2, und sei B das Ereignis „ein Vielfaches von drei auf dem Würfel“. Dann ist P(B)=4/12=1/3. Keines dieser beiden Ereignisse hat einen Einfluss auf das Eintreten des anderen Ereignisses. Daher sind diese beiden Ereignisse unabhängig voneinander. Da die Menge (A∩B)={(3, H), (6, H)} ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis beim Würfeln Kopf und ein Vielfaches von drei bekommt, also P(A∩B) 2/12 oder 1/6. Die Multiplikation P(A) x P(B) ist ebenfalls gleich 1/6. Da die beiden Ereignisse A und B die Bedingung erfüllen, können wir sagen, dass A und B unabhängige Ereignisse sind.
Wenn der Ausgang eines Ereignisses vom Ausgang des anderen Ereignisses beeinflusst wird, dann wird das Ereignis als abhängig bezeichnet.
Angenommen, wir haben einen Beutel mit 3 roten, 2 weißen und 2 grünen Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, zufällig eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt 2/7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen? Ist es 2/7?
Wenn wir die zweite Kugel gezogen hätten, nachdem wir die erste Kugel zurückgelegt hätten, wäre diese Wahrscheinlichkeit 2/7. Wenn wir jedoch die erste Kugel, die wir herausgenommen haben, nicht ersetzen, haben wir nur sechs Kugeln im Beutel, sodass die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, jetzt 2/6 oder 1/3 beträgt. Daher ist das zweite Ereignis abhängig, da das erste Ereignis das zweite Ereignis beeinflusst.
Was ist der Unterschied zwischen abhängigem Ereignis und unabhängigem Ereignis?
