Sich gegenseitig ausschließende vs. unabhängige Ereignisse
Menschen verwechseln oft das Konzept sich gegenseitig ausschließender Ereignisse mit unabhängigen Ereignissen. Tatsächlich sind dies zwei verschiedene Dinge.
A und B seien zwei beliebige Ereignisse, die mit einem Zufallsexperiment E verbunden sind. P(A) wird die „Wahrscheinlichkeit von A“genannt. Ebenso können wir die Wahrscheinlichkeit von B als P(B), die Wahrscheinlichkeit von A oder B als P(A∪B) und die Wahrscheinlichkeit von A und B als P(A∩B) definieren. Dann ist P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Aber zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn das Eintreten eines Ereignisses das andere nicht beeinflusst. Mit anderen Worten, sie können nicht gleichzeitig auftreten. Wenn also zwei Ereignisse A und B sich gegenseitig ausschließen, dann ist A∩B=∅ und somit folgt P(A∪B)=P(A)+ P(B).
A und B seien zwei Ereignisse in einem Stichprobenraum S. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt, dass B eingetreten ist, wird mit P(A | B) bezeichnet und ist definiert als; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), vorausgesetzt P(B)>0. (andernfalls ist es nicht definiert.)
Ein Ereignis A wird als unabhängig von einem Ereignis B bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, nicht davon beeinflusst wird, ob B eingetreten ist oder nicht. Mit anderen Worten, der Ausgang des Ereignisses B hat keine Auswirkung auf den Ausgang des Ereignisses A. Daher ist P(A | B)=P(A). Ebenso ist B unabhängig von A, wenn P(B)=P(B | A). Daraus können wir schließen, dass wenn A und B unabhängige Ereignisse sind, dann P(A∩B)=P(A). P(B)
Angenommen, ein nummerierter Würfel wird gewürfelt und eine faire Münze geworfen. Sei A das Ereignis, bei dem Kopf erzielt wird, und B das Ereignis, bei dem eine gerade Zahl gewürfelt wird. Dann können wir schlussfolgern, dass die Ereignisse A und B unabhängig voneinander sind, weil das Ergebnis des einen das Ergebnis des anderen nicht beeinflusst. Daher ist P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Da P(A∩B)≠0, können sich A und B nicht gegenseitig ausschließen.
Angenommen, eine Urne enthält 7 weiße Murmeln und 8 schwarze Murmeln. Definieren Sie Ereignis A als Ziehen einer weißen Murmel und Ereignis B als Ziehen einer schwarzen Murmel. Angenommen, jede Murmel wird ersetzt, nachdem ihre Farbe notiert wurde, dann sind P(A) und P(B) immer gleich, egal wie oft wir aus der Urne ziehen. Das Ersetzen der Murmeln bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von Ziehung zu Ziehung nicht ändern, egal welche Farbe wir bei der letzten Ziehung gewählt haben. Daher sind Ereignis A und B unabhängig.
Wenn aber Murmeln ersatzlos gezogen wurden, dann ändert sich alles. Unter dieser Annahme sind die Ereignisse A und B nicht unabhängig. Beim ersten Ziehen einer weißen Murmel ändert sich die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Mal eine schwarze Murmel zu ziehen, und so weiter. Mit anderen Worten, jede Ziehung wirkt sich auf die nächste Ziehung aus, die einzelnen Ziehungen sind also nicht unabhängig voneinander.
Unterschied zwischen sich gegenseitig ausschließenden und unabhängigen Ereignissen
– Gegenseitige Ausschließlichkeit von Ereignissen bedeutet, dass es keine Überlappung zwischen den Mengen A und B gibt. Unabhängigkeit von Ereignissen bedeutet, dass das Eintreten von A das Eintreten von B nicht beeinflusst.
– Wenn sich zwei Ereignisse A und B gegenseitig ausschließen, dann ist P(A∩B)=0.
– Wenn zwei Ereignisse A und B unabhängig sind, dann ist P(A∩B)=P(A). P(B)
