Ableitung vs. Integral
Differenzierung und Integration sind zwei grundlegende Operationen in Calculus. Sie haben zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Mathematik, Ingenieurwesen und Physik. Sowohl die Ableitung als auch das Integral diskutieren das Verh alten einer Funktion oder das Verh alten einer physikalischen Einheit, an der wir interessiert sind.
Was ist ein Derivat?
Angenommen y=ƒ(x) und x0 liegt im Definitionsbereich von ƒ. Dann ist limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx heißt die momentane Änderungsrate von ƒ bei x0, sofern diese Grenze endlich existiert. Dieser Grenzwert wird auch Ableitung von at genannt und mit ƒ(x) bezeichnet.
Der Wert der Ableitung einer Funktion f an einem beliebigen Punkt x im Definitionsbereich der Funktion ist gegeben durch limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Dies wird durch einen der folgenden Ausdrücke angegeben: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Bei Funktionen mit mehreren Variablen definieren wir partielle Ableitungen. Die partielle Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen ist ihre Ableitung in Bezug auf eine dieser Variablen, vorausgesetzt, dass die anderen Variablen Konstanten sind. Das Symbol der partiellen Ableitung ist ∂.
Geometrisch kann die Ableitung einer Funktion als Steigung der Kurve der Funktion ƒ(x) interpretiert werden.
Was ist integral?
Integration oder Anti-Differenzierung ist der umgekehrte Prozess der Differenzierung. Mit anderen Worten, es ist der Prozess, eine ursprüngliche Funktion zu finden, wenn die Ableitung der Funktion gegeben ist. Daher kann ein Integral oder eine Stammfunktion einer Funktion ƒ(x) wenn ƒ(x)=F (x) als die Funktion F (x) definiert werden, für alle x im Definitionsbereich von ƒ(x).
Der Ausdruck ∫ƒ(x) dx bezeichnet die Ableitung der Funktion ƒ(x). Wenn ƒ(x)=F (x), dann ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, wobei C eine Konstante ist, ∫ƒ(x) dx heißt das unbestimmte Integral von ƒ(x).
Für jede Funktion ƒ, die nicht notwendigerweise nichtnegativ ist und auf dem Intervall [a, b] definiert ist, a∫b ƒ(x) dx heißt das bestimmte Integral ƒ auf [a, b].
Das bestimmte Integral a∫bƒ(x) dx einer Funktion ƒ(x) kann geometrisch als die Fläche der interpretiert werden Bereich begrenzt durch die Kurve ƒ(x), die x-Achse und die Linien x=a und x=b.
Was ist der Unterschied zwischen Ableitung und Integral?
• Die Ableitung ist das Ergebnis der Prozessdifferenzierung, während das Integral das Ergebnis der Prozessintegration ist.
• Die Ableitung einer Funktion stellt die Steigung der Kurve an einem beliebigen Punkt dar, während das Integral die Fläche unter der Kurve darstellt.
