Unterschied zwischen Riemann-Integral und Lebesgue-Integral

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 13:35

Riemann-Integral vs. Lebesgue-Integral

Integration ist ein Hauptthema in der Infinitesimalrechnung. In einem weiteren Sinne kann Integration als umgekehrter Prozess der Differenzierung angesehen werden. Bei der Modellierung realer Probleme ist es einfach, Ausdrücke mit Ableitungen zu schreiben. In einer solchen Situation ist die Integrationsoperation erforderlich, um die Funktion zu finden, die die bestimmte Ableitung ergibt.

Aus einem anderen Blickwinkel ist die Integration ein Prozess, der das Produkt einer Funktion ƒ(x) und δx aufsummiert, wobei δx tendenziell eine bestimmte Grenze darstellt. Deshalb verwenden wir das Integrationssymbol als ∫. Das Symbol ∫ ist in der Tat das, was wir erh alten, wenn wir den Buchstaben s dehnen, um uns auf die Summe zu beziehen.

Riemann-Integral

Betrachte eine Funktion y=ƒ(x). Das Integral von y zwischen a und b, wobei a und b zu einer Menge x gehören, wird geschrieben als _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Dies nennt man ein bestimmtes Integral der einwertigen und stetigen Funktion y=ƒ(x) zwischen a und b. Dies ergibt die Fläche unter der Kurve zwischen a und b. Dies wird auch als Riemann-Integral bezeichnet. Das Riemann-Integral wurde von Bernhard Riemann entwickelt. Das Riemann-Integral einer stetigen Funktion basiert auf dem Jordan-Maß und ist daher auch als Grenzwert der Riemann-Summen der Funktion definiert. Für eine reellwertige Funktion, die auf einem geschlossenen Intervall definiert ist, das Riemann-Integral der Funktion in Bezug auf eine Partition x₁, x₂, …, x n _{definiert auf dem Intervall [a, b] und t}1_{, t}2_{, …, t n}, wobei x_i ≤ ti _{≤ x}i+1 _{für jedes i ε {1, 2, …, n}, Riemann-Summe ist definiert als Σ}i=o bis n-1 _ƒ(ti _)(xi+1 – x_i).

Lebesgue-Integral

Lebesgue ist eine andere Art von Integral, die eine Vielzahl von Fällen abdeckt als das Riemann-Integral. Das Lebesgue-Integral wurde 1902 von Henri Lebesgue eingeführt. Die Legesgue-Integration kann als Verallgemeinerung der Riemann-Integration betrachtet werden.

Warum müssen wir ein weiteres Integral untersuchen?

Betrachten wir die charakteristische Funktion ƒ_{A (x)=}{_{0 falls, x nicht ε A}^{1 wenn, x ε A} auf einer Menge A. Dann endliche Linearkombination charakteristischer Funktionen, die definiert ist als F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) heißt die einfache Funktion, falls E} i _{für jedes i messbar ist. Das Lebesgue-Integral von F (x) über E wird mit} E_{∫ ƒ(x)dx bezeichnet. Die Funktion F (x) ist nicht Riemann-integrierbar. Daher ist das Lebesgue-Integral ein umformuliertes Riemann-Integral, das einige Einschränkungen hinsichtlich der zu integrierenden Funktionen hat.}

Was ist der Unterschied zwischen Riemann-Integral und Lebesgue-Integral?

· Das Lebesgue-Integral ist eine Verallgemeinerungsform des Riemannschen Integrals.

· Das Lebesgue-Integral erlaubt eine abzählbare Unendlichkeit von Unstetigkeiten, während das Riemann-Integral eine endliche Anzahl von Unstetigkeiten erlaubt.