Differenzierung vs. Derivat
In der Differentialrechnung sind Ableitung und Differentiation eng verwandt, aber sehr unterschiedlich und werden verwendet, um zwei wichtige mathematische Konzepte im Zusammenhang mit Funktionen darzustellen.
Was ist ein Derivat?
Ableitung einer Funktion misst die Rate, mit der sich der Funktionswert ändert, wenn sich sein Eingang ändert. Bei Funktionen mit mehreren Variablen hängt die Änderung des Funktionswerts von der Richtung der Änderung der Werte der unabhängigen Variablen ab. Daher wird in solchen Fällen eine bestimmte Richtung gewählt und die Funktion in dieser bestimmten Richtung differenziert. Diese Ableitung wird Richtungsableitung genannt. Partielle Ableitungen sind eine spezielle Art gerichteter Ableitungen.
Ableitung einer vektorwertigen Funktion f kann als Grenzwert definiert werden [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] wo es endlich existiert. Wie bereits erwähnt, ergibt dies die Anstiegsrate der Funktion f entlang der Richtung des Vektors u. Im Fall einer einwertigen Funktion reduziert sich dies auf die bekannte Definition der Ableitung, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Zum Beispiel ist [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] überall differenzierbar, und die Ableitung ist gleich dem Grenzwert, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], also gleich [latex]3x^{2}+4[/latex]. Die Ableitungen von Funktionen wie [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existieren überall. Sie sind jeweils gleich den Funktionen [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dies ist die erste Ableitung. Normalerweise wird die erste Ableitung der Funktion f mit f bezeichnet (1) Mit dieser Notation ist es nun möglich, Ableitungen höherer Ordnung zu definieren. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ist die Richtungsableitung zweiter Ordnung und bezeichnet die n te Ableitung mit f (n) für jedes n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definiert die n th Ableitung.
Was ist Differenzierung?
Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung einer differenzierbaren Funktion zu finden. Der mit D bezeichnete D-Operator repräsentiert in einigen Kontexten eine Differenzierung. Wenn x die unabhängige Variable ist, dann ist D ≡ d/dx. Der D-Operator ist ein linearer Operator, d.h. für zwei beliebige differenzierbare Funktionen f und g und eine Konstante c gelten folgende Eigenschaften.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Unter Verwendung des D-Operators können die anderen mit der Differenzierung verbundenen Regeln wie folgt ausgedrückt werden. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 und D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Zum Beispiel, wenn F(x)=x 2sin x nach x unter Verwendung der angegebenen Regeln differenziert wird, lautet die Antwort 2 x sin x + x2cos x.
Was ist der Unterschied zwischen Differentiation und Ableitung?• Ableitung bezieht sich auf eine Änderungsrate einer Funktion • Differentiation ist der Prozess, die Ableitung einer Funktion zu finden. |
