Derivativ vs. Differential
In der Differentialrechnung sind Ableitung und Differential einer Funktion eng miteinander verwandt, haben aber sehr unterschiedliche Bedeutungen und werden verwendet, um zwei wichtige mathematische Objekte darzustellen, die mit differenzierbaren Funktionen zusammenhängen.
Was ist ein Derivat?
Ableitung einer Funktion misst die Rate, mit der sich der Funktionswert ändert, wenn sich sein Eingang ändert. Bei Funktionen mit mehreren Variablen hängt die Änderung des Funktionswerts von der Richtung der Änderung der Werte der unabhängigen Variablen ab. Daher wird in solchen Fällen eine bestimmte Richtung gewählt und die Funktion in dieser bestimmten Richtung differenziert. Diese Ableitung wird Richtungsableitung genannt. Partielle Ableitungen sind eine spezielle Art gerichteter Ableitungen.
Ableitung einer vektorwertigen Funktion f kann als Grenzwert definiert werden [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] wo es endlich existiert. Wie bereits erwähnt, ergibt dies die Anstiegsrate der Funktion f entlang der Richtung des Vektors u. Im Fall einer einwertigen Funktion reduziert sich dies auf die bekannte Definition der Ableitung, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Zum Beispiel ist [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] überall differenzierbar, und die Ableitung ist gleich dem Grenzwert, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], also gleich [latex]3x^{2}+4[/latex]. Die Ableitungen von Funktionen wie [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existieren überall. Sie sind jeweils gleich den Funktionen [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dies ist die erste Ableitung. Normalerweise wird die erste Ableitung der Funktion f mit f bezeichnet (1) Mit dieser Notation ist es nun möglich, Ableitungen höherer Ordnung zu definieren. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ist die Richtungsableitung zweiter Ordnung und bezeichnet die n te Ableitung mit f (n) für jedes n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definiert die n th Ableitung.
Was ist differentiell?
Differential einer Funktion stellt die Änderung der Funktion in Bezug auf Änderungen der unabhängigen Variablen oder Variablen dar. In der üblichen Schreibweise ist für eine gegebene Funktion f einer einzelnen Variablen x das Gesamtdifferential der Ordnung 1 df gegeben durch [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Das bedeutet, dass es bei einer infinitesimalen Änderung von x (d. h. d x) eine f (1)(x)d x Änderung von f geben wird.
Unter Verwendung von Grenzen kann man zu dieser Definition wie folgt kommen. Angenommen, ∆ x sei die Änderung von x an einem beliebigen Punkt x und ∆ f die entsprechende Änderung der Funktion f. Man kann zeigen, dass ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, wobei ϵ der Fehler ist. Nun ist der Grenzwert ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (unter Verwendung der zuvor angegebenen Definition der Ableitung) und somit ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Daher ist es möglich schlussfolgern, dass ∆ x→ 0 ϵ=0. Wenn man nun ∆ x→ 0 ∆ f als d f und ∆ x→ 0 ∆ x als d x bezeichnet, erhält man streng die Definition des Differentials.
Zum Beispiel ist das Differential der Funktion [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] gleich [latex](3x^{2}+4)dx[/Latex].
Bei Funktionen von zwei oder mehr Variablen ist das Gesamtdifferential einer Funktion definiert als die Summe der Differentiale in Richtung jeder der unabhängigen Variablen. Mathematisch lässt sich das so formulieren als [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Was ist der Unterschied zwischen Ableitung und Differential?
• Die Ableitung bezieht sich auf eine Änderungsrate einer Funktion, während sich das Differential auf die tatsächliche Änderung der Funktion bezieht, wenn die unabhängige Variable einer Änderung unterzogen wird.
• Die Ableitung ist gegeben durch [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], aber das Differential ist gegeben durch [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
