Population vs. Standardabweichung der Stichprobe
In der Statistik werden mehrere Indizes verwendet, um einen Datensatz entsprechend seiner zentralen Tendenz, Streuung und Schiefe zu beschreiben. Die Standardabweichung ist eines der häufigsten Maße für die Streuung von Daten aus der Mitte des Datensatzes.
Aufgrund praktischer Schwierigkeiten wird es nicht möglich sein, Daten aus der gesamten Bevölkerung zu verwenden, wenn eine Hypothese getestet wird. Daher verwenden wir Datenwerte aus Stichproben, um Rückschlüsse auf die Population zu ziehen. In einer solchen Situation werden diese als Schätzer bezeichnet, da sie die Parameterwerte der Population schätzen.
Es ist äußerst wichtig, unvoreingenommene Schätzer bei der Inferenz zu verwenden. Ein Schätzer wird als unverzerrt bezeichnet, wenn der Erwartungswert dieses Schätzers gleich dem Populationsparameter ist. Beispielsweise verwenden wir den Stichprobenmittelwert als unverzerrten Schätzer für den Mittelwert der Grundgesamtheit. (Mathematisch kann gezeigt werden, dass der Erwartungswert des Stichprobenmittelwerts gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit ist). Bei der Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit ist die Standardabweichung der Stichprobe ebenfalls ein unverzerrter Schätzer.
Was ist Populationsstandardabweichung?
Wenn Daten aus der Gesamtbevölkerung berücksichtigt werden können (z. B. bei einer Volkszählung), ist es möglich, die Standardabweichung der Bevölkerung zu berechnen. Um die Standardabweichung der Grundgesamtheit zu berechnen, werden zunächst die Abweichungen der Datenwerte vom Mittelwert der Grundgesamtheit berechnet. Der quadratische Mittelwert der Abweichungen wird Populationsstandardabweichung genannt.
In einer Klasse mit 10 Schülern können Daten über die Schüler einfach gesammelt werden. Wenn eine Hypothese an dieser Population von Schülern getestet wird, besteht keine Notwendigkeit, Stichprobenwerte zu verwenden. Zum Beispiel werden die Gewichte der 10 Schüler (in Kilogramm) mit 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 und 79 gemessen. Dann ist das Durchschnittsgewicht der zehn Personen (in Kilogramm). (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, also 71 (in Kilogramm). Dies ist der Populationsmittelwert.
Um nun die Populationsstandardabweichung zu berechnen, berechnen wir die Abweichungen vom Mittelwert. Die jeweiligen Abweichungen vom Mittelwert sind (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 und (79 – 71)=8. Die Summe der Abweichungsquadrate ist (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Die Populations-Standardabweichung ist √(366/10)=6,05 (in Kilogramm). 71 ist das genaue Durchschnittsgewicht der Schüler der Klasse und 6.05 ist die exakte Standardabweichung des Gewichts von 71.
Was ist die Standardabweichung der Stichprobe?
Wenn Daten aus einer Stichprobe (der Größe n) verwendet werden, um Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen, wird die Standardabweichung der Stichprobe berechnet. Zunächst werden die Abweichungen der Datenwerte vom Stichprobenmittelwert berechnet. Da der Mittelwert der Stichprobe anstelle des Mittelwerts der Grundgesamtheit (der unbekannt ist) verwendet wird, ist die Verwendung des quadratischen Mittelwerts nicht angemessen. Um die Verwendung des Stichprobenmittelwerts zu kompensieren, wird die Summe der Abweichungsquadrate durch (n-1) statt durch n dividiert. Die Stichproben-Standardabweichung ist die Quadratwurzel davon. In mathematischen Symbolen ist S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, wobei S die Standardabweichung der Stichprobe ist, ẍ ist der Stichprobenmittelwert und xi sind die Datenpunkte.
Nehmen Sie nun an, dass im vorherigen Beispiel die Grundgesamtheit die Schüler der gesamten Schule sind. Dann wird die Klasse nur eine Probe sein. Wenn diese Stichprobe in der Schätzung verwendet wird, beträgt die Standardabweichung der Stichprobe √(366/9)=6.38 (in Kilogramm), da 366 durch 9 statt durch 10 (die Stichprobengröße) geteilt wurde. Zu beachten ist, dass dies nicht garantiert der exakte Wert der Standardabweichung der Grundgesamtheit ist. Es handelt sich lediglich um eine Schätzung.
Was ist der Unterschied zwischen der Populationsstandardabweichung und der Stichprobenstandardabweichung?
• Populations-Standardabweichung ist der genaue Parameterwert, der verwendet wird, um die Streuung von der Mitte zu messen, während die Stichproben-Standardabweichung ein unverzerrter Schätzer dafür ist.
• Die Populationsstandardabweichung wird berechnet, wenn alle Daten zu jedem Individuum der Population bekannt sind. Andernfalls wird die Standardabweichung der Stichprobe berechnet.
• Populationsstandardabweichung ist gegeben durch σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} wobei µ der Populationsmittelwert und n die Populationsgröße außer der ist Die Standardabweichung der Stichprobe ist gegeben durch S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} wobei ẍ der Stichprobenmittelwert und n die Stichprobengröße ist.
