Orthogonal vs. Orthonormal
In der Mathematik werden die beiden Wörter orthogonal und orthonormal häufig zusammen mit einer Reihe von Vektoren verwendet. Hier wird der Begriff „Vektor“in dem Sinne verwendet, dass es sich um ein Element eines Vektorraums handelt – eine algebraische Struktur, die in der linearen Algebra verwendet wird. Für unsere Diskussion betrachten wir einen Skalarproduktraum – einen Vektorraum V zusammen mit einem Skalarprodukt definiert auf V.
Zum Beispiel ist Raum für ein Skalarprodukt die Menge aller dreidimensionalen Positionsvektoren zusammen mit dem üblichen Skalarprodukt.
Was ist orthogonal?
Eine nichtleere Teilmenge S eines inneren Produktraums V heißt orthogonal genau dann, wenn für jedes verschiedene u, v in S, [u, v]=0; d.h. das innere Produkt von u und v ist gleich dem Nullskalar im inneren Produktraum.
In der Menge aller dreidimensionalen Positionsvektoren ist dies beispielsweise äquivalent zu der Aussage, dass für jedes unterschiedliche Paar von Positionsvektoren p und q in S p und q senkrecht zueinander stehen. (Denken Sie daran, dass das Skalarprodukt in diesem Vektorraum das Skalarprodukt ist. Außerdem ist das Skalarprodukt zweier Vektoren genau dann gleich 0, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.)
Betrachte die Menge S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, die eine Teilmenge der dreidimensionalen Positionsvektoren ist. Beachten Sie, dass (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0)., 5)=0. Also ist die Menge S orthogonal. Insbesondere werden zwei Vektoren als orthogonal bezeichnet, wenn ihr inneres Produkt 0 ist. Daher ist jedes Vektorenpaar in Si orthogonal.
Was ist orthonormal?
Eine nichtleere Teilmenge S eines inneren Produktraums V heißt orthonormal genau dann, wenn S orthogonal ist und für jeden Vektor u in S, [u, u]=1. Daher kann man sehen, dass jede orthonormale Menge ist orthogonal, aber nicht umgekehrt.
Zum Beispiel in der Menge aller dreidimensionalen Positionsvektoren ist dies gleichbedeutend mit der Aussage, dass für jedes unterschiedliche Paar von Positionsvektoren p und q in S, p und q senkrecht zueinander stehen und for jedes p in S, |p|=1. Dies liegt daran, dass sich die Bedingung [p, p]=1 auf p.p=|p||p|cos0=|p|2=1 reduziert, was äquivalent zu |p ist |=1. Daher können wir zu einer gegebenen orthogonalen Menge immer eine entsprechende orthonormale Menge bilden, indem wir jeden Vektor durch seinen Betrag dividieren.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} ist eine orthonormale Teilmenge der Menge aller 3-dimensionalen Positionsvektoren. Es ist leicht zu sehen, dass es durch Dividieren aller Vektoren in der Menge S durch ihre Beträge erh alten wurde.
Was ist der Unterschied zwischen orthogonal und orthonormal?
- Eine nichtleere Teilmenge S eines inneren Produktraums V heißt genau dann orthogonal, wenn für jedes verschiedene u, v in S [u, v]=0 ist. Sie ist jedoch orthonormal, wenn und nur wenn eine zusätzliche Bedingung – für jeden Vektor u in S, [u, u]=1 erfüllt ist.
- Jede orthonormale Menge ist orthogonal, aber nicht umgekehrt.
- Jede orthogonale Menge entspricht einer eindeutigen orthonormalen Menge, aber eine orthonormale Menge kann vielen orthogonalen Mengen entsprechen.
