Transponieren vs. inverse Matrix
Die Transponierte und die Inverse sind zwei Arten von Matrizen mit besonderen Eigenschaften, denen wir in der Matrizenalgebra begegnen. Sie unterscheiden sich voneinander und haben keine enge Beziehung, da die Operationen, die durchgeführt werden, um sie zu erh alten, unterschiedlich sind.
Sie haben breite Anwendungen im Bereich der linearen Algebra und der abgeleiteten Implementierungen wie der Informatik.
Mehr über die Transponierungsmatrix
Die Transponierte einer Matrix A kann als die Matrix identifiziert werden, die man erhält, indem man Sp alten als Zeilen oder Zeilen als Sp alten umordnet. Dadurch werden die Indizes der einzelnen Elemente vertauscht. Formaler ist die Transponierung der Matrix A definiert als
wo
In einer transponierten Matrix bleibt die Diagonale unverändert, aber alle anderen Elemente werden um die Diagonale gedreht. Auch die Größe der Matrizen ändert sich von m×n zu n×m.
Die Transponierung hat einige wichtige Eigenschaften, die eine einfachere Manipulation von Matrizen ermöglichen. Außerdem werden einige wichtige Transponierungsmatrizen basierend auf ihren Eigenschaften definiert. Wenn die Matrix gleich ihrer Transponierten ist, dann ist die Matrix symmetrisch. Wenn die Matrix gleich ihrem Negativ der Transponierten ist, ist die Matrix schiefsymmetrisch. Die konjugierte Transponierte einer Matrix ist die Transponierte der Matrix, wobei die Elemente durch ihre komplexe Konjugierte ersetzt werden.
Mehr über inverse Matrix
Inverse einer Matrix ist definiert als eine Matrix, die multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Wenn also AB=BA=I ist, dann ist B per Definition die inverse Matrix von A und A die inverse Matrix von B. Wenn wir also B=A -1 betrachten, dann ist AA -1 =A -1 A=I
Damit eine Matrix invertierbar ist, ist die notwendige und hinreichende Bedingung, dass die Determinante von A nicht Null ist; d.h. | Ein |=det(A) ≠ 0. Eine Matrix heißt invertierbar, nicht-singulär oder nicht-degenerativ, wenn sie diese Bedingung erfüllt. Daraus folgt, dass A eine quadratische Matrix ist und sowohl A -1 als auch A dieselbe Größe haben.
Die Inverse der Matrix A kann mit vielen Methoden der linearen Algebra berechnet werden, wie z. B. der Gaußschen Elimination, der Eigenzerlegung, der Cholesky-Zerlegung und der Carmer-Regel. Eine Matrix kann auch mit der Blockinversionsmethode und der Neuman-Reihe invertiert werden.
Was ist der Unterschied zwischen Transpose und Inverse Matrix?
• Die Transponierung wird durch Umordnen der Sp alten und Zeilen in der Matrix erh alten, während die Inverse durch eine relativ schwierige numerische Berechnung erh alten wird. (Aber in Wirklichkeit sind beides lineare Transformationen)
• Als direkte Folge ändern die Elemente in der Transponierung nur ihre Position, aber die Werte sind gleich. Aber umgekehrt können die Zahlen völlig anders sein als die ursprüngliche Matrix.
• Jede Matrix kann eine Transponierte haben, aber die Inverse ist nur für quadratische Matrizen definiert, und die Determinante muss eine Determinante ungleich Null sein.
