Fourier-Reihe vs. Fourier-Transformation
Fourier-Reihe zerlegt eine periodische Funktion in eine Summe von Sinus und Cosinus mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden. Fourier-Reihen sind ein Zweig der Fourier-Analyse und wurden von Joseph Fourier eingeführt. Die Fourier-Transformation ist eine mathematische Operation, die ein Signal in seine konstituierenden Frequenzen zerlegt. Das ursprüngliche Signal, das sich über die Zeit verändert hat, wird als Zeitbereichsdarstellung des Signals bezeichnet. Die Fourier-Transformation wird als Frequenzbereichsdarstellung eines Signals bezeichnet, da sie von der Frequenz abhängt. Sowohl die Frequenzbereichsdarstellung eines Signals als auch der Prozess, der verwendet wird, um dieses Signal in den Frequenzbereich zu transformieren, werden als Fourier-Transformation bezeichnet.
Was ist eine Fourier-Reihe?
Wie bereits erwähnt, ist die Fourier-Reihe eine Erweiterung einer periodischen Funktion unter Verwendung einer unendlichen Summe von Sinus und Cosinus. Die Fourier-Reihe wurde ursprünglich entwickelt, um Wärmegleichungen zu lösen, aber später wurde herausgefunden, dass die gleiche Technik verwendet werden kann, um eine große Menge mathematischer Probleme zu lösen, insbesondere die Probleme, die lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beinh alten. Jetzt hat die Fourier-Reihe Anwendungen in einer Vielzahl von Bereichen, darunter Elektrotechnik, Schwingungsanalyse, Akustik, Optik, Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Quantenmechanik und Ökonometrie. Fourier-Reihen verwenden die Orthogonalitätsbeziehungen von Sinus- und Kosinusfunktionen. Die Berechnung und das Studium von Fourier-Reihen ist als harmonische Analyse bekannt und ist sehr nützlich, wenn mit beliebigen periodischen Funktionen gearbeitet wird, da sie es ermöglicht, die Funktion in einfache Begriffe zu zerlegen, die verwendet werden können, um eine Lösung des ursprünglichen Problems zu erh alten.
Was ist die Fourier-Transformation?
Fourier-Transformation definiert eine Beziehung zwischen einem Signal im Zeitbereich und seiner Darstellung im Frequenzbereich. Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion in Schwingungsfunktionen. Da es sich hierbei um eine Transformation handelt, kann das ursprüngliche Signal aus der Kenntnis der Transformation erh alten werden, somit werden bei diesem Vorgang keine Informationen erzeugt oder verloren. Das Studium der Fourier-Reihen liefert tatsächlich eine Motivation für die Fourier-Transformation. Aufgrund der Eigenschaften von Sinus und Cosinus ist es möglich, den Betrag jeder Welle, der zur Summe beiträgt, mithilfe eines Integrals zu ermitteln. Die Fourier-Transformation hat einige grundlegende Eigenschaften wie Linearität, Übersetzung, Modulation, Skalierung, Konjugation, Dualität und F altung. Die Fourier-Transformation wird beim Lösen von Differentialgleichungen angewendet, da die Fourier-Transformation eng mit der Laplace-Transformation verwandt ist. Die Fourier-Transformation wird auch in der Kernmagnetresonanz (NMR) und in anderen Arten der Spektroskopie verwendet.
Unterschied zwischen Fourier-Reihe und Fourier-Transformation
Fourier-Reihe ist eine Erweiterung des periodischen Signals als lineare Kombination von Sinus und Cosinus, während die Fourier-Transformation der Prozess oder die Funktion ist, die verwendet wird, um Signale vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umzuwandeln. Die Fourier-Reihe ist für periodische Signale definiert und die Fourier-Transformation kann auf aperiodische (ohne Periodizität auftretende) Signale angewendet werden. Wie oben erwähnt, liefert das Studium der Fourier-Reihen tatsächlich eine Motivation für die Fourier-Transformation.
