Laplace vs. Fourier-Transformation
Sowohl die Laplace-Transformation als auch die Fourier-Transformation sind integrale Transformationen, die am häufigsten als mathematische Methoden zur Lösung mathematisch modellierter physikalischer Systeme verwendet werden. Der Prozess ist einfach. Ein komplexes mathematisches Modell wird mithilfe einer Integr altransformation in ein einfacheres, lösbares Modell umgewandelt. Sobald das einfachere Modell gelöst ist, wird die inverse Integr altransformation angewendet, die die Lösung des ursprünglichen Modells liefern würde.
Da zum Beispiel die meisten physikalischen Systeme Differentialgleichungen ergeben, können sie mit einer Integr altransformation in algebraische Gleichungen oder in einfacher lösbare Differentialgleichungen umgewandelt werden. Dann wird es einfacher, das Problem zu lösen.
Was ist die Laplace-Transformation?
Wenn eine Funktion f (t) einer reellen Variablen t gegeben ist, ist ihre Laplace-Transformation definiert durch das Integral [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (wo immer es existiert), was eine Funktion einer komplexen Variablen s ist. Es wird normalerweise mit L { f (t)} bezeichnet. Die inverse Laplace-Transformation einer Funktion F (s) wird als Funktion f (t) angenommen, so dass L { f (t)}=F (s), und in der üblichen mathematischen Schreibweise schreiben wir L-1{ F (s)}=f (t). Die inverse Transformation kann eindeutig gemacht werden, wenn Nullfunktionen nicht erlaubt sind. Man kann diese beiden als lineare Operatoren identifizieren, die im Funktionenraum definiert sind, und es ist auch leicht zu sehen, dass L -1{ L { f (t)}}=f (t), wenn Nullfunktionen nicht erlaubt sind.
Die folgende Tabelle listet die Laplace-Transformationen einiger der gebräuchlichsten Funktionen auf.
Was ist die Fourier-Transformation?
Wenn eine Funktion f (t) einer reellen Variablen t gegeben ist, ist ihre Laplace-Transformation durch das Integral [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (wann immer es existiert), und wird normalerweise mit F { f bezeichnet (t)}. Die Rücktransformation F -1{ F (α)} ist gegeben durch das Integral [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Die Fourier-Transformation ist ebenfalls linear und kann als ein im Funktionenraum definierter Operator betrachtet werden.
Unter Verwendung der Fourier-Transformation kann die ursprüngliche Funktion wie folgt geschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Funktion nur endlich viele Unstetigkeiten hat und absolut integrierbar ist.
Was ist der Unterschied zwischen der Laplace- und der Fourier-Transformation?
- Fourier-Transformation einer Funktion f (t) ist definiert als [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], wobei die Laplace-Transformation davon definiert ist als [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Die Fourier-Transformation ist nur für Funktionen definiert, die für alle reellen Zahlen definiert sind, während die Laplace-Transformation nicht erfordert, dass die Funktion für die negativen reellen Zahlen definiert wird.
- Die Fourier-Transformation ist ein Sonderfall der Laplace-Transformation. Es ist ersichtlich, dass beide für nicht negative reelle Zahlen zusammenfallen. (d.h. nimm s in Laplace als iα + β, wobei α und β reell sind, so dass e β=1/ √(2ᴫ))
- Jede Funktion, die eine Fourier-Transformation hat, hat eine Laplace-Transformation, aber nicht umgekehrt.
