Subset vs. Superset
In der Mathematik ist das Mengenkonzept grundlegend. Das moderne Studium der Mengenlehre wurde Ende des 19. Jahrhunderts formalisiert. Die Mengenlehre ist eine grundlegende Sprache der Mathematik und eine Fundgrube für die Grundprinzipien der modernen Mathematik. Andererseits ist sie ein eigenständiger Zweig der Mathematik, der in der modernen Mathematik als Zweig der mathematischen Logik eingeordnet wird.
Eine Menge ist eine wohldefinierte Sammlung von Objekten. Wohldefiniert bedeutet, dass es einen Mechanismus gibt, mit dem man bestimmen kann, ob ein gegebenes Objekt zu einer bestimmten Menge gehört oder nicht. Objekte, die zu einer Menge gehören, werden als Elemente oder Mitglieder der Menge bezeichnet. Mengen werden normalerweise mit Großbuchstaben bezeichnet und Kleinbuchstaben werden verwendet, um Elemente darzustellen.
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B; genau dann, wenn jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B ist. Eine solche Beziehung zwischen Mengen wird mit A ⊆ B bezeichnet. Sie kann auch gelesen werden als „A ist in B enth alten“. Die Menge A heißt echte Teilmenge, wenn A ⊆ B und A ≠ B, und wird mit A ⊂ B bezeichnet. Wenn es auch nur ein Mitglied in A gibt, das kein Mitglied von B ist, dann kann A keine Teilmenge von B sein. Eine leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge, und eine Menge selbst ist eine Teilmenge derselben Menge.
Wenn A eine Teilmenge von B ist, dann ist A in B enth alten. Dies impliziert, dass B A enthält, oder mit anderen Worten, B ist eine Obermenge von A. Wir schreiben A ⊇ B, um anzuzeigen, dass B a ist Obermenge von A.
Zum Beispiel ist A={1, 3} eine Teilmenge von B={1, 2, 3}, da alle Elemente in A in B enth alten sind. B ist eine Obermenge von A, weil B enthält A. Sei A={1, 2, 3} und B={3, 4, 5}. Dann ist A∩B={3}. Daher sind sowohl A als auch B Obermengen von A∩B. Die Menge A∪B, ist eine Obermenge von A und B, weil A∪B, alle Elemente von A und B enthält.
Wenn A eine Obermenge von B und B eine Obermenge von C ist, dann ist A eine Obermenge von C. Jede Menge A ist eine Obermenge einer leeren Menge und jede Menge selbst eine Obermenge dieser Menge.
‚A ist eine Teilmenge von B‘wird auch gelesen als ‚A ist in B enth alten‘, bezeichnet durch A ⊆ B.
‚B ist eine Obermenge von A‘wird auch gelesen als ‚B ist in A enth alten‘, bezeichnet durch A ⊇ B.
