Unterschied zwischen linearer Gleichung und nichtlinearer Gleichung

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 13:35

Lineare Gleichung vs. nichtlineare Gleichung

Algebraische Gleichungen sind in der Mathematik Gleichungen, die aus Polynomen gebildet werden. Wenn sie explizit geschrieben werden, haben die Gleichungen die Form P(x)=0, wobei x ein Vektor von n unbekannten Variablen und P ein Polynom ist. Zum Beispiel ist P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 eine explizit geschriebene algebraische Gleichung in zwei Variablen. Auch (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ ist eine algebraische Gleichung, aber in impliziter Form und es hat die Form Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, einmal explizit geschrieben.}

Eine wichtige Eigenschaft einer algebraischen Gleichung ist ihr Grad. Sie ist definiert als die höchste Potenz der in der Gleichung vorkommenden Terme. Wenn ein Term aus zwei oder mehr Variablen besteht, wird die Summe der Exponenten jeder Variablen als Potenz des Terms genommen. Beachte, dass gemäß dieser Definition P(x, y)=0 vom Grad 5 ist, während Q(x, y, z)=0 vom Grad 5 ist.

Lineare Gleichungen und nichtlineare Gleichungen sind eine Zweiteilung, die auf dem Satz algebraischer Gleichungen definiert ist. Der Grad der Gleichung ist der Faktor, der sie voneinander unterscheidet.

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung 1. Grades. Zum Beispiel ist 4x + 5=0 eine lineare Gleichung einer Variablen. x + y + 5z=0 und 4x=3w + 5y + 7z sind lineare Gleichungen mit 3 bzw. 4 Variablen. Im Allgemeinen hat eine lineare Gleichung von n Variablen die Form m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Hier sind x}i _{die unbekannten Variablen, m}i _{und b sind reelle Zahlen, wobei jede der m}i _{ist nicht Null.}

Eine solche Gleichung repräsentiert eine Hyperebene im n-dimensionalen euklidischen Raum. Insbesondere repräsentiert eine lineare Gleichung mit zwei Variablen eine gerade Linie in der kartesischen Ebene und eine lineare Gleichung mit drei Variablen repräsentiert eine Ebene im euklidischen 3-Raum.

Was ist eine nichtlineare Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine algebraische Gleichung, die nicht linear ist. Mit anderen Worten, eine nichtlineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung vom Grad 2 oder höher. x² + 3x + 2=0 ist eine nichtlineare Gleichung mit einer einzigen Variablen. x^{2 + y}3^{+ 3xy=4 und 8yzx}2 ^{+ y}2^{+ 2z}2 ^{+ x + y + z=4 sind Beispiele für nichtlineare Gleichungen mit 3 bzw. 4 Variablen.}

Eine nichtlineare Gleichung zweiten Grades wird als quadratische Gleichung bezeichnet. Wenn der Grad 3 ist, dann spricht man von einer kubischen Gleichung. Die Gleichungen 4. und 5. Grades werden quartische bzw. quintische Gleichungen genannt. Es ist bewiesen, dass es keine analytische Methode gibt, um eine nichtlineare Gleichung des Grades 5 zu lösen, und dies gilt auch für jeden höheren Grad. Lösbare nichtlineare Gleichungen stellen Hyperflächen dar, die keine Hyperebenen sind.

Was ist der Unterschied zwischen einer linearen Gleichung und einer nichtlinearen Gleichung?

• Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung vom Grad 1, aber eine nichtlineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung vom Grad 2 oder höher.

• Obwohl jede lineare Gleichung analytisch lösbar ist, ist dies bei nichtlinearen Gleichungen nicht der Fall.

• Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist der Lösungsraum einer linearen Gleichung mit n Variablen eine Hyperebene, während der einer nichtlinearen Gleichung mit n Variablen eine Hyperfläche ist, die keine Hyperebene ist. (Quadriken, kubische Flächen usw.)