Unterschied zwischen linearer und quadratischer Gleichung

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 13:35

Lineare Gleichung vs. Quadratische Gleichung

In der Mathematik sind algebraische Gleichungen Gleichungen, die aus Polynomen gebildet werden. Wenn sie explizit geschrieben werden, haben die Gleichungen die Form P(x)=0, wobei x ein Vektor von n unbekannten Variablen und P ein Polynom ist. Beispiel: P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 ist eine explizit geschriebene algebraische Gleichung zweier Variablen. Auch (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ ist eine algebraische Gleichung, aber in impliziter Form. Es hat die Form Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, einmal explizit geschrieben.}

Eine wichtige Eigenschaft einer algebraischen Gleichung ist ihr Grad. Sie ist definiert als die höchste Potenz der in der Gleichung vorkommenden Terme. Wenn ein Term aus zwei oder mehr Variablen besteht, wird die Summe der Exponenten jeder Variablen als Potenz des Terms genommen. Beachte, dass gemäß dieser Definition P(x, y)=0 vom Grad 4 ist, während Q(x, y, z)=0 vom Grad 5 ist.

Lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen sind zwei verschiedene Arten von algebraischen Gleichungen. Der Grad der Gleichung ist der Faktor, der sie von den übrigen algebraischen Gleichungen unterscheidet.

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung 1. Grades. Zum Beispiel ist 4x + 5=0 eine lineare Gleichung einer Variablen. x + y + 5z=0 und 4x=3w + 5y + 7z sind lineare Gleichungen mit 3 bzw. 4 Variablen. Im Allgemeinen nimmt eine lineare Gleichung von n Variablen die Form m₁x₁+m an 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Hier sind x_i die unbekannten Variablen, m_i und b sind reelle Zahlen, wobei jede der m_i ist nicht Null.

Eine solche Gleichung repräsentiert eine Hyperebene im n-dimensionalen euklidischen Raum. Insbesondere repräsentiert eine lineare Gleichung mit zwei Variablen eine gerade Linie in der kartesischen Ebene und eine lineare Gleichung mit drei Variablen repräsentiert eine Ebene im euklidischen 3-Raum.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine algebraische Gleichung zweiten Grades. x² + 3x + 2=0 ist eine quadratische Gleichung mit einer einzigen Variablen. x^{2 + y}2 ^{+ 3x=4 und 4x}2 ^{+ y}2^{+ 2z}2 ^{+ x + y + z=4 sind Beispiele für quadratische Gleichungen mit 2 bzw. 3 Variablen.}

Im Fall einer einzelnen Variablen ist die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c=0. Wobei a, b, c reelle Zahlen sind, von denen a, b, c reelle Zahlen sind 'a' ist nicht null. Die Diskriminante ∆=(b^{2 – 4ac) bestimmt die Art der Wurzeln der quadratischen Gleichung. Die Wurzeln der Gleichung werden reell verschieden, reell ähnlich und komplex sein, je nachdem, ob ∆ positiv, null oder negativ ist. Die Wurzeln der Gleichung finden Sie leicht mit der Formel x=(- b ± √∆) / 2a.}

In dem Fall mit zwei Variablen wäre die allgemeine Form ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, und dies repräsentiert einen Kegelschnitt (Parabel, Hyperbel oder Ellipse) in der kartesischen Ebene. In höheren Dimensionen stellt diese Art von Gleichungen Hyperflächen dar, die als Quadriken bekannt sind.}

Was ist der Unterschied zwischen linearen und quadratischen Gleichungen?

• Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung 1. Grades, während eine quadratische Gleichung eine algebraische Gleichung 2. Grades ist.

• Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist der Lösungsraum einer linearen Gleichung mit n Variablen eine Hyperebene, während der einer quadratischen Gleichung mit n Variablen eine quadratische Fläche ist.