Unterschied zwischen Transposition und konjugierter Transposition

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 13:35

Transponieren vs. konjugiertes Transponieren

Die Transponierte einer Matrix A kann als die Matrix identifiziert werden, die man erhält, indem man die Sp alten als Reihen oder die Reihen als Sp alten umordnet. Dadurch werden die Indizes der einzelnen Elemente vertauscht. Formaler ist die Transponierung einer Matrix A definiert als

wo

In einer transponierten Matrix bleibt die Diagonale unverändert. Aber alle anderen Elemente werden um die Diagonale gedreht. Auch die Größe der Matrizen ändert sich von m×n zu n×m.

Die Transponierung hat einige wichtige Eigenschaften, die eine einfachere Manipulation von Matrizen ermöglichen. Außerdem werden einige wichtige Transponierungsmatrizen basierend auf ihren Eigenschaften definiert. Wenn die Matrix gleich ihrer Transponierten ist, dann ist die Matrix symmetrisch. Wenn die Matrix gleich ihrem Negativ der Transponierten ist, dann ist die Matrix schiefsymmetrisch.

Die konjugierte Transponierte einer Matrix ist die Transponierte der Matrix, bei der die Elemente durch ihre komplexe Konjugierte ersetzt werden. Das heißt, die komplexe Konjugierte (A^{) ist definiert als die Transponierte der komplexen Konjugierten der Matrix A.}

A=(Ā)^{T; Im Einzelnen}

wo

und ā_{ji ε C.}

Es ist auch bekannt als Hermitesche Transponierte und Hermitesche Konjugierte. Wenn die konjugierte Transponierte gleich der Matrix selbst ist, wird die Matrix als hermitische Matrix bezeichnet. Wenn die konjugierte Transponierung gleich dem Negativ der Matrix ist, handelt es sich um eine schiefe Hermitesche Matrix. Und wenn die Inverse der Matrix gleich der konjugiert Komplexen ist, ist die Matrix unitär.

Ebenso haben alle Spezialmatrizen komplexe Konjugierte auch spezielle Eigenschaften, die verwendet werden können, um sie leicht mathematisch zu manipulieren. Die konjugierte Transponierte ist in der Quantenmechanik und ihren relevanten Gebieten weit verbreitet.

Was ist der Unterschied zwischen Transpose und Conjugate Transpose?

• Die Transponierung einer Matrix erhält man, indem man Sp alten in Zeilen oder Zeilen in Sp alten umordnet. Die komplexe Konjugierte einer Matrix erhält man, indem man jedes Element durch seine komplexe Konjugierte ersetzt (d. h. x+iy ⇛ x-iy oder umgekehrt). Die konjugierte Transponierte erhält man, indem man beide Operationen an der Matrix durchführt.

• Daher ist die konjugierte Transponierung nur eine Transponierungsmatrix mit ihren komplexen Konjugierten als Elementen.