Assoziativ vs. Kommutativ
In unserem täglichen Leben müssen wir Zahlen verwenden, wann immer wir ein Maß für etwas benötigen. Im Lebensmittelgeschäft, an der Tankstelle und sogar in der Küche müssen wir zwei oder mehr Größen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Aus unserer Praxis heraus führen wir diese Berechnungen ganz mühelos durch. Wir bemerken oder hinterfragen nie, warum wir diese Operationen auf diese besondere Weise durchführen. Oder warum diese Berechnungen nicht anders gemacht werden können. Die Antwort liegt in der Definition dieser Operationen im mathematischen Bereich der Algebra verborgen.
In der Algebra wird eine Operation mit zwei Größen (zB Addition) als binäre Operation definiert. Genauer gesagt handelt es sich um eine Operation zwischen zwei Elementen einer Menge, und diese Elemente werden „Operand“genannt. Viele Operationen in der Mathematik, darunter die bereits erwähnten arithmetischen Operationen und diejenigen, die in der Mengenlehre, der linearen Algebra und der mathematischen Logik vorkommen, können als binäre Operationen definiert werden.
Es gibt eine Reihe von Regeln, die sich auf eine bestimmte binäre Operation beziehen. Assoziative und kommutative Eigenschaften sind zwei grundlegende Eigenschaften der binären Operationen.
Mehr zum Kommutativgesetz
Angenommen, eine binäre Operation, die durch das Symbol ⊗ gekennzeichnet ist, wird an den Elementen A und B durchgeführt. Wenn die Reihenfolge der Operanden das Ergebnis der Operation nicht beeinflusst, wird die Operation als kommutativ bezeichnet. d.h. wenn A ⊗ B=B ⊗ A, dann ist die Operation kommutativ.
Die Rechenoperationen Addition und Multiplikation sind kommutativ. Die Reihenfolge der addierten oder multiplizierten Zahlen hat keinen Einfluss auf die endgültige Antwort:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Aber im Fall der Division ergibt die Änderung der Reihenfolge den Kehrwert des anderen, und bei der Subtraktion ergibt die Änderung den negativen Wert des anderen. Daher
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 und 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 und 5 ÷ 4=1,25 [in diesem Fall A, B ≠ 1 und 0]
Tatsächlich soll die Subtraktion antikommutativ sein; wobei A – B=– (B – A).
Auch die logischen Konnektoren, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz sind ebenfalls kommutativ. Auch Wahrheitsfunktionen sind kommutativ. Die Mengenoperationen Vereinigung und Durchschnitt sind kommutativ. Auch die Addition und das Skalarprodukt der Vektoren sind kommutativ.
Aber die Vektorsubtraktion und das Vektorprodukt sind nicht kommutativ (das Vektorprodukt zweier Vektoren ist antikommutativ). Die Matrixaddition ist kommutativ, aber die Multiplikation und die Subtraktion sind nicht kommutativ.(Die Multiplikation zweier Matrizen kann in Sonderfällen kommutativ sein, wie z. B. die Multiplikation einer Matrix mit ihrer Inversen oder der Einheitsmatrix; aber Matrizen sind definitiv nicht kommutativ, wenn die Matrizen nicht die gleiche Größe haben)
Mehr über Assoziativgesetze
Eine binäre Operation wird als assoziativ bezeichnet, wenn die Reihenfolge der Ausführung das Ergebnis nicht beeinflusst, wenn zwei oder mehr Vorkommen des Operators vorhanden sind. Betrachten Sie die Elemente A, B und C und die binäre Operation ⊗. Die Operation ⊗ heißt assoziativ, wenn
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Von den Grundrechenarten sind nur die Addition und die Multiplikation assoziativ.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Subtraktion und Division sind nicht assoziativ;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 und (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 und (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Die logischen Verknüpfungen Disjunktion, Konjunktion und Äquivalenz sind assoziativ, ebenso die Mengenoperationen Vereinigung und Schnitt. Die Matrix- und Vektoraddition sind assoziativ. Das Skalarprodukt von Vektoren ist assoziativ, das Vektorprodukt jedoch nicht. Die Matrixmultiplikation ist nur unter besonderen Umständen assoziativ.
Was ist der Unterschied zwischen Kommutativ- und Assoziativgesetz?
• Sowohl das Assoziativgesetz als auch das Kommutativgesetz sind spezielle Eigenschaften der binären Operationen, und einige erfüllen sie, andere nicht.
• Diese Eigenschaften können in vielen Formen algebraischer Operationen und anderer binärer Operationen in der Mathematik gesehen werden, wie zum Beispiel Schnittmenge und Vereinigung in der Mengenlehre oder die logischen Verknüpfungen.
• Der Unterschied zwischen Kommutativ und Assoziativ besteht darin, dass das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Elemente das Endergebnis nicht ändert, während das Assoziativgesetz besagt, dass die Reihenfolge, in der die Operation ausgeführt wird, die endgültige Antwort nicht beeinflusst.
