Unterschied zwischen arithmetischer Folge und geometrischer Folge

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-17 23:28

Arithmetische Folge vs. geometrische Folge

Die Untersuchung von Zahlenmustern und ihrem Verh alten ist eine wichtige Studie auf dem Gebiet der Mathematik. Oft sind diese Muster in der Natur zu sehen und helfen uns, ihr Verh alten aus wissenschaftlicher Sicht zu erklären. Arithmetische Folgen und geometrische Folgen sind zwei der Grundmuster, die in Zahlen vorkommen und oft in natürlichen Phänomenen vorkommen.

Die Sequenz ist eine Reihe von geordneten Zahlen. Die Anzahl der Elemente in der Folge kann entweder endlich oder unendlich sein.

Mehr über arithmetische Folge (Arithmetische Folge)

Eine arithmetische Folge ist definiert als eine Folge von Zahlen mit einer konstanten Differenz zwischen jedem aufeinanderfolgenden Glied. Es ist auch als arithmetische Progression bekannt.

Arithmetische Folge ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; wobei a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d und so weiter.}

Wenn der Anfangsterm a₁ ist und die gemeinsame Differenz d ist, dann ist der n^{te Term der Folge gegeben durch;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Wenn man das obige Ergebnis weiterführt, kann der n^{te-Term auch als; angegeben werden}

a_n =a_m + (n-m)d, wobei a_{m ein zufälliger Term ist in der Folge so, dass n > m.}

Die Menge der geraden Zahlen und die Menge der ungeraden Zahlen sind die einfachsten Beispiele für arithmetische Folgen, wobei jede Folge eine gemeinsame Differenz (d) von 2 hat.

Die Anzahl der Glieder in einer Folge kann entweder unendlich oder endlich sein. Im unendlichen Fall (n → ∞) strebt die Folge je nach gemeinsamer Differenz gegen unendlich (a_{n → ±∞). Wenn die gemeinsame Differenz positiv ist (d > 0), tendiert die Folge zu positiv unendlich und wenn die gemeinsame Differenz negativ ist (d < 0), tendiert sie zu negativ unendlich. Wenn die Terme endlich sind, ist auch die Folge endlich.}

Die Summe der Terme in der arithmetischen Folge wird als arithmetische Reihe bezeichnet: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{und S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] gibt den Wert von an Reihe (S}n)

Mehr über Geometrische Folge (Geometrische Progression)

Eine geometrische Folge ist definiert als eine Folge, bei der der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder eine Konstante ist. Dies wird auch als geometrische Progression bezeichnet.

Geometrische Folge ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; wobei a_2/a1_{=r, a}3_/a2_{=r usw., wobei r eine reelle Zahl ist.}

Es ist einfacher, die geometrische Folge mit dem gemeinsamen Verhältnis (r) und dem Anfangsterm (a) darzustellen. Daraus ergibt sich die geometrische Folge ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Die allgemeine Form der n^th Terme gegeben durch a_n =a₁r ^n-1. (Verlust des Index des Anfangsterms ⇒ a_n =ar^n-1)

Die geometrische Folge kann auch endlich oder unendlich sein. Wenn die Anzahl der Terme endlich ist, heißt die Folge endlich. Und wenn die Terme unendlich sind, kann die Folge je nach Verhältnis r entweder unendlich oder endlich sein. Das gemeinsame Verhältnis beeinflusst viele Eigenschaften in geometrischen Folgen.

r > o	0 < r < +1	Die Folge konvergiert – exponentieller Abfall, also an → 0, n → ∞
	r=1	Konstante Folge, also an=Konstante
	r > 1	Die Folge divergiert – exponentielles Wachstum, d.h. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Die Folge oszilliert, konvergiert aber
	r=1	Die Folge ist alternierend und konstant, also an=±konstant
	r < -1	Die Reihenfolge ist abwechselnd und divergiert. also an → ±∞, n → ∞
r=0	Die Folge ist eine Folge von Nullen

N. B: In allen oben genannten Fällen a₁ > 0; wenn a₁ < 0, werden die Vorzeichen von a_{n invertiert.}

Das Zeitintervall zwischen den Sprüngen eines Balls folgt im idealen Modell einer geometrischen Folge, und es ist eine konvergente Folge.

Die Summe der Terme der geometrischen Folge wird als geometrische Reihe bezeichnet; S_{n=ar+ ar}2 ^{+ ar}3 ^{+ ⋯ + ar}n^=∑i=1→n _ari^{. Die Summe der geometrischen Reihen kann mit folgender Formel berechnet werden.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); wobei a der Anfangsterm und r das Verhältnis ist.}

Wenn das Verhältnis r ≤ 1 ist, konvergiert die Reihe. Für eine unendliche Reihe ist der Konvergenzwert gegeben durch S_n=a/(1-r)

Was ist der Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Folge/Progression?

• In einer arithmetischen Folge haben zwei beliebige aufeinanderfolgende Glieder einen gemeinsamen Unterschied (d), während in einer geometrischen Folge zwei beliebige aufeinanderfolgende Glieder einen konstanten Quotienten (r) haben.

• In einer arithmetischen Folge ist die Variation der Terme linear, d.h. durch alle Punkte kann eine Gerade gezogen werden. In einer geometrischen Reihe ist die Variation exponentiell; entweder wachsend oder verfallend, basierend auf dem gemeinsamen Verhältnis.

• Alle unendlichen arithmetischen Folgen sind divergent, während unendliche geometrische Folgen entweder divergent oder konvergent sein können.

• Die geometrische Reihe kann Schwingungen aufweisen, wenn das Verhältnis r negativ ist, während die arithmetische Reihe keine Schwingungen aufweist