Parallelogramm vs. Trapez
Parallelogramm und Trapez (oder Trapez) sind zwei konvexe Vierecke. Obwohl es sich um Vierecke handelt, unterscheidet sich die Geometrie des Trapezes deutlich von den Parallelogrammen.
Parallelogramm
Parallelogramm kann als geometrische Figur mit vier Seiten definiert werden, wobei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Genauer gesagt handelt es sich um ein Viereck mit zwei parallelen Seitenpaaren. Diese Parallelität verleiht den Parallelogrammen viele geometrische Eigenschaften.
Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn folgende geometrische Merkmale gefunden werden.
• Zwei Paar gegenüberliegender Seiten sind gleich lang. (AB=DC, AD=BC)
• Zwei Paare gegenüberliegender Winkel sind gleich groß. ([Latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Wenn die angrenzenden Winkel ergänzend sind [Latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Ein Seitenpaar, das einander gegenüberliegt, ist parallel und gleich lang. (AB=DC & AB∥DC)
• Die Diagonalen halbieren sich (AO=OC, BO=OD)
• Jede Diagonale teilt das Viereck in zwei kongruente Dreiecke. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Außerdem ist die Summe der Quadrate der Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen. Dies wird manchmal als Parallelogrammgesetz bezeichnet und hat weit verbreitete Anwendungen in Physik und Technik. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Jedes der oben genannten Merkmale kann als Eigenschaft verwendet werden, sobald feststeht, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
Die Fläche des Parallelogramms errechnet sich aus dem Produkt der Länge einer Seite und der Höhe der gegenüberliegenden Seite. Daher kann die Fläche des Parallelogramms angegeben werden als
Parallelogrammfläche=Grundfläche × Höhe=AB×h
Die Fläche des Parallelogramms ist unabhängig von der Form des einzelnen Parallelogramms. Sie ist nur abhängig von der Basislänge und der senkrechten Höhe.
Lassen sich die Seiten eines Parallelogramms durch zwei Vektoren darstellen, so ergibt sich die Fläche aus dem Betrag des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) der beiden benachbarten Vektoren.
Wenn die Seiten AB und AD durch die Vektoren ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) bzw. ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) dargestellt werden, ist die Fläche der Parallelogramm ist gegeben durch [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], wobei α der Winkel zwischen [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] und [latex]\overrightarrow{AD}[/latex]. ist
Following sind einige fortgeschrittene Eigenschaften des Parallelogramms;
• Die Fläche eines Parallelogramms ist doppelt so groß wie die Fläche eines Dreiecks, das aus einer seiner Diagonalen entsteht.
• Die Fläche des Parallelogramms wird durch eine beliebige Linie halbiert, die durch den Mittelpunkt verläuft.
• Jede nicht entartete affine Transformation führt ein Parallelogramm zu einem anderen Parallelogramm
• Ein Parallelogramm hat eine Rotationssymmetrie der Ordnung 2
• Die Summe der Abstände von jedem inneren Punkt eines Parallelogramms zu den Seiten ist unabhängig von der Lage des Punktes
Trapez
Trapez (oder Trapez in britischem Englisch) ist ein konvexes Viereck, bei dem mindestens zwei Seiten parallel und ungleich lang sind. Die parallelen Seiten des Trapezes werden als Basen und die anderen beiden Seiten als Schenkel bezeichnet.
Folgende sind die Hauptmerkmale von Trapezen;
• Liegen benachbarte Winkel nicht auf derselben Basis des Trapezes, handelt es sich um Ergänzungswinkel. d.h. sie addieren sich zu 180° ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latex])
• Beide Diagonalen eines Trapezes schneiden sich im gleichen Verhältnis (Verhältnis zwischen den Abschnitten der Diagonalen sind gleich).
• Wenn a und b Basen und c, d Schenkel sind, sind die Längen der Diagonalen gegeben durch
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
und
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
Fläche des Trapezes kann mit folgender Formel berechnet werden
Trapezfläche=[latex]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
Was ist der Unterschied zwischen Parallelogramm und Trapez (Trapez)?
• Sowohl Parallelogramm als auch Trapez sind konvexe Vierecke.
• In einem Parallelogramm sind beide Paare der gegenüberliegenden Seiten parallel, während in einem Trapez nur ein Paar parallel ist.
• Die Diagonalen des Parallelogramms halbieren sich (Verhältnis 1:1), während sich die Diagonalen des Trapezes in einem konstanten Verhältnis zwischen den Abschnitten schneiden.
• Die Fläche des Parallelogramms hängt von der Höhe und der Basis ab, während die Fläche des Trapezes von der Höhe und dem mittleren Segment abhängt.
• Die beiden durch eine Diagonale gebildeten Dreiecke in einem Parallelogramm sind immer deckungsgleich, während die Dreiecke des Trapezes entweder deckungsgleich sein können oder nicht.
