Parallelogramm vs. Rechteck
Parallelogramm und Rechteck sind Vierecke. Die Geometrie dieser Figuren war den Menschen seit Tausenden von Jahren bekannt. Das Thema wird explizit in dem Buch „Elemente“des griechischen Mathematikers Euklid behandelt.
Parallelogramm
Parallelogramm kann als geometrische Figur mit vier Seiten definiert werden, wobei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Genauer gesagt handelt es sich um ein Viereck mit zwei parallelen Seitenpaaren. Diese Parallelität verleiht den Parallelogrammen viele geometrische Eigenschaften.
Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn folgende geometrische Merkmale gefunden werden.
• Zwei Paar gegenüberliegender Seiten sind gleich lang. (AB=DC, AD=BC)
• Zwei Paare gegenüberliegender Winkel sind gleich groß. ([Latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Wenn die angrenzenden Winkel ergänzend sind [Latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Ein Seitenpaar, das einander gegenüberliegt, ist parallel und gleich lang. (AB=DC & AB∥DC)
• Die Diagonalen halbieren sich (AO=OC, BO=OD)
• Jede Diagonale teilt das Viereck in zwei kongruente Dreiecke. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Außerdem ist die Summe der Quadrate der Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen. Dies wird manchmal als Parallelogrammgesetz bezeichnet und hat weit verbreitete Anwendungen in Physik und Technik. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Jedes der oben genannten Merkmale kann als Eigenschaft verwendet werden, sobald feststeht, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
Die Fläche des Parallelogramms errechnet sich aus dem Produkt der Länge einer Seite und der Höhe der gegenüberliegenden Seite. Daher kann die Fläche des Parallelogramms angegeben werden als
Parallelogrammfläche=Grundfläche × Höhe=AB×h
Die Fläche des Parallelogramms ist unabhängig von der Form des einzelnen Parallelogramms. Sie ist nur abhängig von der Basislänge und der senkrechten Höhe.
Lassen sich die Seiten eines Parallelogramms durch zwei Vektoren darstellen, so ergibt sich die Fläche aus dem Betrag des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) der beiden benachbarten Vektoren.
Wenn die Seiten AB und AD durch die Vektoren ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) bzw. ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) dargestellt werden, ist die Fläche der Parallelogramm ist gegeben durch [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], wobei α der Winkel zwischen [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] und [latex]\overrightarrow{AD}[/latex]. ist
Following sind einige fortgeschrittene Eigenschaften des Parallelogramms;
• Die Fläche eines Parallelogramms ist doppelt so groß wie die Fläche eines Dreiecks, das aus einer seiner Diagonalen entsteht.
• Die Fläche des Parallelogramms wird durch eine beliebige Gerade, die durch den Mittelpunkt verläuft, halbiert.
• Jede nicht entartete affine Transformation führt ein Parallelogramm zu einem anderen Parallelogramm
• Ein Parallelogramm hat eine Rotationssymmetrie der Ordnung 2
• Die Summe der Abstände von jedem inneren Punkt eines Parallelogramms zu den Seiten ist unabhängig von der Lage des Punktes
Rechteck
Ein Viereck mit vier rechten Winkeln wird als Rechteck bezeichnet. Es ist ein Sonderfall des Parallelogramms, bei dem die Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten rechte Winkel sind.
Zusätzlich zu allen Eigenschaften eines Parallelogramms lassen sich bei Betrachtung der Geometrie des Rechtecks weitere Besonderheiten erkennen.
• Jeder Winkel an den Scheitelpunkten ist ein rechter Winkel.
• Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich gegenseitig. Daher sind auch die halbierten Abschnitte gleich lang.
• Die Länge der Diagonalen kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Die Flächenformel reduziert sich auf das Produkt aus Länge und Breite.
Rechteckfläche=Länge × Breite
• Viele symmetrische Eigenschaften finden sich auf einem Rechteck, wie etwa;
– Ein Rechteck ist zyklisch, wobei alle Eckpunkte auf dem Umfang eines Kreises platziert werden können.
– Es ist gleichwinklig, wobei alle Winkel gleich sind.
– Es ist isogonal, wobei alle Ecken innerhalb derselben Symmetriebahn liegen.
– Es hat sowohl Reflexionssymmetrie als auch Rotationssymmetrie.
Was ist der Unterschied zwischen Parallelogramm und Rechteck?
• Parallelogramm und Rechteck sind Vierecke. Rechteck ist ein Sonderfall der Parallelogramme.
• Der Flächeninh alt kann mit der Basisformel ×Höhe berechnet werden.
• Berücksichtigung der Diagonalen;
– Die Diagonalen des Parallelogramms halbieren sich gegenseitig und halbieren das Parallelogramm zu zwei kongruenten Dreiecken.
– Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich lang und halbieren sich; halbierte Abschnitte sind gleich lang. Die Diagonalen halbieren das Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.
• Berücksichtigung der Innenwinkel;
– Gegenüberliegende Innenwinkel des Parallelogramms sind gleich groß. Zwei benachbarte Innenwinkel ergänzen sich
– Alle vier Innenwinkel des Rechtecks sind rechte Winkel.
• Betrachtet man die Seiten;
– In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen (Parallelogrammgesetz)
– Bei Rechtecken ist die Summe der Quadrate der beiden benachbarten Seiten gleich dem Quadrat der Diagonalen an den Enden. (Pythagoras-Regel)
