Parallelogramm vs. Viereck
Vierecke und Parallelogramme sind Polygone, die in der euklidischen Geometrie vorkommen. Das Parallelogramm ist ein Sonderfall des Vierecks. Vierecke können entweder planar (2D) oder dreidimensional sein, während Parallelogramme immer planar sind.
Viereck
Viereck ist ein Vieleck mit vier Seiten. Es hat vier Eckpunkte und die Summe der Innenwinkel beträgt 3600 (2π rad). Vierecke werden in sich selbst schneidende und einfache viereckige Kategorien eingeteilt. Die sich selbst schneidenden Vierecke haben zwei oder mehr Seiten, die sich kreuzen, und kleinere geometrische Figuren (z. B. Dreiecke werden innerhalb des Vierecks gebildet).
Die einfachen Vierecke werden auch in konvexe und konkave Vierecke unterteilt. Konkave Vierecke haben benachbarte Seiten, die innerhalb der Figur Reflexionswinkel bilden. Die einfachen Vierecke, die innen keine Reflexwinkel haben, sind konvexe Vierecke. Die konvexen Vierecke können immer Tessellationen haben.
Ein großer Teil der Geometrie von Vierecken auf den Anfangsebenen betrifft die konvexen Vierecke. Einige Vierecke sind uns aus der Grundschulzeit sehr vertraut. Das folgende Diagramm zeigt verschiedene konvexe Vierecke.
Parallelogramm
Parallelogramm kann als geometrische Figur mit vier Seiten definiert werden, wobei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Genauer gesagt handelt es sich um ein Viereck mit zwei parallelen Seitenpaaren. Diese Parallelität verleiht den Parallelogrammen viele geometrische Eigenschaften.
Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn folgende geometrische Merkmale gefunden werden.
• Zwei Paar gegenüberliegender Seiten sind gleich lang. (AB=DC, AD=BC)
• Zwei Paare gegenüberliegender Winkel sind gleich groß. ([Latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Wenn die angrenzenden Winkel ergänzend sind [Latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Ein Seitenpaar, das einander gegenüberliegt, ist parallel und gleich lang. (AB=DC & AB∥DC)
• Die Diagonalen halbieren sich (AO=OC, BO=OD)
• Jede Diagonale teilt das Viereck in zwei kongruente Dreiecke. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Außerdem ist die Summe der Quadrate der Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen. Dies wird manchmal als Parallelogrammgesetz bezeichnet und hat weit verbreitete Anwendungen in Physik und Technik. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Jedes der oben genannten Merkmale kann als Eigenschaft verwendet werden, sobald feststeht, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
Die Fläche des Parallelogramms errechnet sich aus dem Produkt der Länge einer Seite und der Höhe der gegenüberliegenden Seite. Daher kann die Fläche des Parallelogramms angegeben werden als
Parallelogrammfläche=Grundfläche × Höhe=AB×h
Die Fläche des Parallelogramms ist unabhängig von der Form des einzelnen Parallelogramms. Sie ist nur abhängig von der Basislänge und der senkrechten Höhe.
Lassen sich die Seiten eines Parallelogramms durch zwei Vektoren darstellen, so ergibt sich die Fläche aus dem Betrag des Vektorprodukts (Kreuzprodukt) der beiden benachbarten Vektoren.
Wenn die Seiten AB und AD durch die Vektoren ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) bzw. ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) dargestellt werden, ist die Fläche der Parallelogramm ist gegeben durch [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], wobei α der Winkel zwischen [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] und [latex]\overrightarrow{AD}[/latex]. ist
Following sind einige fortgeschrittene Eigenschaften des Parallelogramms;
• Die Fläche eines Parallelogramms ist doppelt so groß wie die Fläche eines Dreiecks, das aus einer seiner Diagonalen entsteht.
• Die Fläche des Parallelogramms wird durch eine beliebige Gerade, die durch den Mittelpunkt verläuft, halbiert.
• Jede nicht entartete affine Transformation führt ein Parallelogramm zu einem anderen Parallelogramm
• Ein Parallelogramm hat eine Rotationssymmetrie der Ordnung 2
• Die Summe der Abstände von jedem inneren Punkt eines Parallelogramms zu den Seiten ist unabhängig von der Lage des Punktes
Was ist der Unterschied zwischen Parallelogramm und Viereck?
• Vierecke sind Polygone mit vier Seiten (manchmal auch Tetragone genannt), während Parallelogramme eine spezielle Art eines Vierecks sind.
• Vierecke können ihre Seiten in verschiedenen Ebenen haben (im 3D-Raum), während alle Seiten des Parallelogramms auf derselben Ebene liegen (planar/ zweidimensional).
• Innenwinkel des Vierecks können beliebige Werte annehmen (einschließlich Reflexwinkel), sodass sie sich zu 3600 addieren. Parallelogramme können nur stumpfe Winkel als maximale Winkelart haben.
• Vier Seiten des Vierecks können unterschiedlich lang sein, während die gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms immer parallel zueinander und gleich lang sind.
• Jede Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke, während die durch die Diagonale eines allgemeinen Vierecks gebildeten Dreiecke nicht unbedingt kongruent sind.
