Differenzgleichung vs. Differenzialgleichung
Ein natürliches Phänomen kann mathematisch durch Funktionen einer Anzahl unabhängiger Variablen und Parameter beschrieben werden. Insbesondere wenn sie durch eine Funktion der räumlichen Position und der Zeit ausgedrückt werden, führt dies zu Gleichungen. Die Funktion kann sich mit der Änderung der unabhängigen Variablen oder der Parameter ändern. Eine infinitesimale Änderung, die in der Funktion auftritt, wenn eine ihrer Variablen geändert wird, wird als Ableitung dieser Funktion bezeichnet.
Eine Differentialgleichung ist jede Gleichung, die Ableitungen einer Funktion sowie die Funktion selbst enthält. Eine einfache Differentialgleichung ist die des zweiten Newtonschen Bewegungsgesetzes. Wenn sich ein Objekt der Masse m mit der Beschleunigung „a“bewegt und auf die Kraft F einwirkt, sagt uns das Zweite Newtonsche Gesetz, dass F=ma. Auch hier variiert „a“mit der Zeit, wir können „a“umschreiben als; a=du/dt; v ist die Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist eine Funktion von Raum und Zeit, also v=ds/dt; also 'a'=d2s/dt2
Wenn wir dies im Hinterkopf beh alten, können wir Newtons zweites Gesetz als Differentialgleichung umschreiben;
‘F’ als Funktion von v und t – F(v, t)=mdv/dt, oder
'F' als Funktion von s und t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Es gibt zwei Arten von Differentialgleichungen; gewöhnliche Differentialgleichung, abgekürzt mit ODE oder partielle Differentialgleichung, abgekürzt mit PDE. Gewöhnliche Differentialgleichungen enth alten gewöhnliche Ableitungen (Ableitungen von nur einer Variablen). Eine partielle Differentialgleichung enthält Differentialableitungen (Ableitungen von mehr als einer Variablen).
z. B. F=m d2s/dt2 ist eine ODE, während α2 d 2u/dx2=du/dt ist eine PDE, sie hat Ableitungen von t und x.
Differenzgleichung ist dasselbe wie Differentialgleichung, aber wir betrachten sie in einem anderen Zusammenhang. In Differentialgleichungen wird die unabhängige Variable wie die Zeit im Kontext eines kontinuierlichen Zeitsystems betrachtet. Im diskreten Zeitsystem nennen wir die Funktion Differenzengleichung.
Differenzgleichung ist eine Funktion von Differenzen. Die Unterschiede in den unabhängigen Variablen sind drei Typen; Zahlenfolge, diskretes dynamisches System und Iterationsfunktion.
In einer Zahlenfolge wird die Änderung rekursiv erzeugt, indem eine Regel verwendet wird, um jede Zahl in der Folge mit vorherigen Zahlen in der Folge in Beziehung zu setzen.
Differenzgleichung in einem diskreten dynamischen System nimmt ein diskretes Eingangssignal und erzeugt ein Ausgangssignal.
Differenzgleichung ist eine iterierte Karte für iterierte Funktion. B. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….ist die Folge einer iterierten Funktion. f(y0) ist die erste Iteration von y0 Die k-te Iteration wird mit fk bezeichnet (y0).
