Teilmengen vs. richtige Teilmengen
Es ist ganz natürlich, die Welt durch die Kategorisierung von Dingen in Gruppen zu realisieren. Dies ist die Grundlage des mathematischen Konzepts namens „Mengenlehre“. Die Mengenlehre wurde Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt und ist heute in der Mathematik allgegenwärtig. Nahezu die gesamte Mathematik kann auf der Grundlage der Mengenlehre abgeleitet werden. Die Anwendung der Mengenlehre reicht von der abstrakten Mathematik bis zu allen Themen in der greifbaren physikalischen Welt.
Teilmenge und eigentliche Teilmenge sind zwei Terminologien, die in der Mengenlehre häufig verwendet werden, um Beziehungen zwischen Mengen einzuführen.
Wenn jedes Element in einer Menge A auch ein Mitglied einer Menge B ist, dann wird die Menge A eine Teilmenge von B genannt. Dies kann auch gelesen werden als „A ist in B enth alten“. Formaler ist A eine Teilmenge von B, bezeichnet mit A⊆B, falls x∈A x∈B impliziert.
Jede Menge selbst ist eine Untermenge derselben Menge, weil offensichtlich jedes Element, das in einer Menge enth alten ist, auch in derselben Menge sein wird. Wir sagen „A ist eine echte Teilmenge von B“, wenn A eine Teilmenge von B ist, aber A nicht gleich B ist. Um anzuzeigen, dass A eine echte Teilmenge von B ist, verwenden wir die Notation A⊂B. Zum Beispiel hat die Menge {1, 2} 4 Teilmengen, aber nur 3 echte Teilmengen. Denn {1, 2} ist eine Teilmenge, aber keine echte Teilmenge von {1, 2}.
Wenn eine Menge eine echte Teilmenge einer anderen Menge ist, ist sie immer eine Teilmenge dieser Menge (d. h. wenn A eine echte Teilmenge von B ist, impliziert dies, dass A eine Teilmenge von B ist). Aber es kann Teilmengen geben, die keine echten Teilmengen ihrer Obermenge sind. Wenn zwei Mengen gleich sind, dann sind sie Teilmengen voneinander, aber keine echte Teilmenge voneinander.
In Kürze:
– Wenn A eine Teilmenge von B ist, dann können A und B gleich sein.
– Wenn A eine echte Teilmenge von B ist, dann kann A nicht gleich B sein.
