Definite vs. unbestimmte Integrale
Infinitesimalrechnung ist ein wichtiger Zweig der Mathematik, und die Differenzierung spielt in der Infinitesimalrechnung eine entscheidende Rolle. Der umgekehrte Prozess der Differenzierung wird als Integration bezeichnet, und die Umkehrung wird als Integral bezeichnet, oder einfach ausgedrückt, die Umkehrung der Differenzierung ergibt ein Integral. Basierend auf den Ergebnissen, die sie erzeugen, werden die Integrale in zwei Klassen eingeteilt; bestimmte und unbestimmte Integrale.
Mehr über unbestimmte Integrale
Das unbestimmte Integral ist eher eine allgemeine Form der Integration und kann als Stammfunktion der betrachteten Funktion interpretiert werden. Angenommen, die Differenzierung von F ergibt f, und die Integration von f ergibt das Integral. Es wird oft als F(x)=∫ƒ(x)dx oder F=∫ƒ dx geschrieben, wobei sowohl F als auch ƒ Funktionen von x sind und F differenzierbar ist. In der obigen Form wird es als Reimann-Integral bezeichnet und die resultierende Funktion begleitet eine beliebige Konstante. Ein unbestimmtes Integral erzeugt oft eine Familie von Funktionen; daher ist das Integral unbestimmt.
Integrale und Integrationsprozesse sind der Kern der Lösung von Differentialgleichungen. Im Gegensatz zur Differenzierung folgt die Integration jedoch nicht immer einer klaren und standardisierten Routine; Manchmal kann die Lösung nicht explizit in Bezug auf die elementare Funktion ausgedrückt werden. In diesem Fall wird die analytische Lösung oft in Form eines unbestimmten Integrals angegeben.
Mehr über bestimmte Integrale
Define Integrale sind die vielgeschätzten Gegenstücke zu unbestimmten Integralen, bei denen der Integrationsprozess tatsächlich eine endliche Zahl erzeugt. Es kann grafisch als die Fläche definiert werden, die durch die Kurve der Funktion ƒ innerhalb eines bestimmten Intervalls begrenzt wird. Immer wenn die Integration innerhalb eines bestimmten Intervalls der unabhängigen Variablen durchgeführt wird, erzeugt die Integration einen bestimmten Wert, der oft als a∫bƒ(x) geschrieben wird. dx oder a∫b ƒdx.
Die unbestimmten Integrale und bestimmten Integrale sind durch den ersten fundamentalen Satz der Analysis miteinander verbunden, und das erlaubt die Berechnung des bestimmten Integrals unter Verwendung der unbestimmten Integrale. Der Satz besagt a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) wobei sowohl F als auch ƒ Funktionen von x sind, und F ist im Intervall (a, b) differenzierbar. Unter Berücksichtigung des Intervalls werden a und b als Untergrenze bzw. Obergrenze bezeichnet.
Anstatt nur mit reellen Funktionen aufzuhören, kann die Integration auf komplexe Funktionen ausgedehnt werden und diese Integrale werden Konturintegrale genannt, wobei ƒ eine Funktion der komplexen Variablen ist.
Was ist der Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen?
Unbestimmte Integrale repräsentieren die Stammfunktion einer Funktion und oft eher eine Familie von Funktionen als eine eindeutige Lösung. Bei bestimmten Integralen ergibt die Integration eine endliche Zahl.
Unbestimmte Integrale assoziieren eine beliebige Variable (daher die Funktionsfamilie) und bestimmte Integrale haben keine beliebige Konstante, sondern eine obere und eine untere Integrationsgrenze.
Unbestimmtes Integral liefert normalerweise eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
