Integration vs. Summierung
In der Oberstufenmathematik finden sich Integration und Summierung oft in mathematischen Operationen. Sie werden scheinbar als unterschiedliche Werkzeuge und in unterschiedlichen Situationen verwendet, aber sie teilen eine sehr enge Beziehung.
Mehr über Summation
Summierung ist die Operation des Addierens einer Folge von Zahlen und die Operation wird oft mit dem griechischen Großbuchstaben Sigma Σ bezeichnet. Es wird verwendet, um die Summe abzukürzen und gleich der Summe/Gesamtsumme der Sequenz zu sein. Sie werden oft verwendet, um die Reihen darzustellen, die im Wesentlichen unendliche Folgen sind, die summiert werden. Sie können auch verwendet werden, um die Summe von Vektoren, Matrizen oder Polynomen anzugeben.
Die Summierung erfolgt normalerweise für eine Reihe von Werten, die durch einen allgemeinen Begriff dargestellt werden können, z. B. eine Reihe, die einen gemeinsamen Begriff hat. Der Startpunkt und der Endpunkt der Summierung werden als Untergrenze bzw. Obergrenze der Summierung bezeichnet.
Zum Beispiel die Summe der Folge a1, a2, a3, a 4, …, an ist a1 + a2 + a 3 + … + an was mit der Summationsnotation einfach als ∑ dargestellt werden kann i=1 ai; i heißt Summierungsindex.
Für die Summierung werden je nach Anwendung viele Variationen verwendet. In einigen Fällen können die Ober- und Untergrenze als Intervall oder Bereich angegeben werden, wie z. B. ∑1≤i≤100 ai und ∑i∈[1, 100] ai Oder es kann als eine Reihe von Zahlen wie ∑i∈P angegeben werden ai, wobei P eine definierte Menge ist.
In einigen Fällen können zwei oder mehr Sigma-Zeichen verwendet werden, aber sie können wie folgt verallgemeinert werden; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
Außerdem folgt die Summierung vielen algebraischen Regeln. Da die eingebettete Operation die Addition ist, können viele der üblichen Regeln der Algebra auf die Summen selbst und auf die einzelnen Terme angewendet werden, die durch die Summation dargestellt werden.
Mehr zur Integration
Die Integration ist definiert als umgekehrter Prozess der Differenzierung. Sie kann aber geometrisch betrachtet auch als die Fläche betrachtet werden, die von der Funktionskurve und der Achse umschlossen wird. Daher ergibt die Berechnung der Fläche den Wert eines bestimmten Integrals, wie im Diagramm gezeigt.
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Der Wert des bestimmten Integrals ist eigentlich die Summe der kleinen Streifen innerhalb der Kurve und der Achse. Die Fläche jedes Streifens ist die Höhe × Breite an dem Punkt auf der betrachteten Achse. Die Breite ist ein Wert, den wir wählen können, sagen wir ∆x. Und die Höhe ist ungefähr der Wert der Funktion am betrachteten Punkt, sagen wir f (xi). Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass je kleiner die Streifen sind, desto besser passen die Streifen in den begrenzten Bereich, daher eine bessere Annäherung an den Wert.
So kann im Allgemeinen das bestimmte Integral I zwischen den Punkten a und b (d. h. im Intervall [a, b] mit a<b) als I ≅ f (x1)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, wobei n die Anzahl der Streifen ist (n=(b-a)/∆x). Diese Summierung der Fläche lässt sich mit der Summationsschreibweise leicht darstellen als I ≅ ∑i=1 f (xi)∆x. Da die Näherung besser ist, wenn ∆x kleiner ist, können wir den Wert berechnen, wenn ∆x→0 ist. Daher ist es vernünftig zu sagen I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
Als Verallgemeinerung des obigen Konzepts können wir das ∆x basierend auf dem betrachteten Intervall wählen, das durch i indiziert ist (wobei die Breite des Bereichs basierend auf der Position ausgewählt wird). Dann bekommen wir
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
Dies ist als Reimann-Integral der Funktion f (x) im Intervall [a, b] bekannt. In diesem Fall sind a und b als Obergrenze und Untergrenze des Integrals bekannt. Das Reimann-Integral ist eine Grundform aller Integrationsverfahren.
Im Wesentlichen ist die Integration die Summierung der Fläche, wenn die Breite des Rechtecks unendlich klein ist.
Was ist der Unterschied zwischen Integration und Summation?
• Summieren ist das Aufsummieren einer Folge von Zahlen. Üblicherweise wird die Summation in dieser Form ∑i=1 ai angegeben, wenn die Terme in der Folge stehen haben ein Muster und können mit einem allgemeinen Begriff ausgedrückt werden.
• Die Integration ist im Grunde der Bereich, der durch die Kurve der Funktion, die Achse und die oberen und unteren Grenzen begrenzt wird. Diese Fläche kann als Summe viel kleinerer Flächen angegeben werden, die in der begrenzten Fläche enth alten sind.
• Bei der Summierung handelt es sich um diskrete Werte mit Ober- und Untergrenze, bei der Integration um kontinuierliche Werte.
• Integration kann als eine spezielle Form der Summation interpretiert werden.
• Bei numerischen Rechenverfahren wird die Integration immer summiert.
