Kardinalzahl vs. Ordinalzahl
In unserem täglichen Leben kann die Verwendung von Zahlen in verschiedenen Situationen unterschiedliche Formen annehmen. Wenn wir zum Beispiel zählen, um die Größe einer Sammlung von Objekten zu ermitteln, zählen wir sie als eins, zwei, drei und so weiter. Wenn wir etwas zählen wollen, um die Position der Objekte zu verstehen, zählen wir sie als erstes, zweites, drittes und so weiter. In der ersten Form des Zählens werden Zahlen als Kardinalzahlen bezeichnet. Bei der zweiten Form des Zählens werden die Zahlen als Ordnungszahlen betrachtet. In diesem Zusammenhang sind die Begriffe Kardinal und Ordinal vollständig eine Sache der Linguistik; Kardinal und Ordinal sind Adjektive.
Die Erweiterung des Konzepts auf Mengen in der Mathematik offenbart jedoch eine viel tiefere und breitere Perspektive und kann nicht einfach behandelt werden. In diesem Artikel werden wir versuchen, die grundlegenden Konzepte der Kardinal- und Ordnungszahlen in der Mathematik zu verstehen.
Formale Definitionen von Kardinal- und Ordnungszahlen sind in der Mengenlehre enth alten. Die Definitionen sind kompliziert und um sie im perfekten Sinne zu verstehen, sind Hintergrundkenntnisse in der Mengenlehre erforderlich. Daher wenden wir uns ein paar Beispielen zu, um die Konzepte heuristisch zu verstehen.
Betrachte die beiden Mengen {1, 3, 6, 4, 5, 2} und {Bus, Auto, Fähre, Zug, Flugzeug, Helikopter}. Jede Menge listet eine Menge von Elementen auf, und wenn wir die Anzahl der Elemente zählen, ist es offensichtlich, dass jede die gleiche Anzahl von Elementen hat, nämlich 6. Um zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen, haben wir die Größe einer Menge genommen und mit a verglichen Nummer. Eine solche Zahl nennt man Kardinalzahl. Daher können wir sagen, dass eine Kardinalzahl eine Zahl ist, mit der wir die Größe der endlichen Mengen vergleichen können.
Auch hier kann die erste Gruppe von Zahlen in aufsteigender Reihenfolge angeordnet werden, wobei die Größe jedes Elements berücksichtigt und verglichen wird. Bei der Bestellung werden die Zahlen als Kardinalzahlen betrachtet. Ebenso kann die Menge aller nichtnegativen ganzen Zahlen in einer Menge geordnet werden; also {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Aber in diesem Fall wird die Größe der Menge unendlich, und eine Angabe in Ordnungszahlen ist nicht möglich. Egal, wie groß die Zahl ist, die Sie auswählen, um die Größe der Menge anzugeben, es werden immer noch Zahlen aus der von Ihnen ausgewählten Menge übrig bleiben, die nichtnegative ganze Zahlen sind.
Daher definieren Mathematiker diesen unendlichen Kardinal (der der erste ist) als Aleph-0, geschrieben als א (erster Buchstabe im hebräischen Alphabet). Formal ist die Ordnungszahl der Ordnungstyp einer wohlgeordneten Menge. Daher kann die Ordnungszahl der endlichen Mengen durch Kardinalzahlen angegeben werden, aber für unendliche Mengen wird die Ordnungszahl durch transfinite Zahlen wie Aleph-0 angegeben.
Was ist der Unterschied zwischen Kardinal- und Ordnungszahlen?
• Die Kardinalzahl ist eine Zahl, die zum Zählen oder zum Angeben der Größe einer endlichen geordneten Menge verwendet werden kann. Alle Kardinalzahlen sind Ordnungszahlen.
• Die Ordnungszahlen sind Zahlen, die verwendet werden, um die Größe sowohl endlicher als auch unendlicher geordneter Mengen anzugeben. Die Größe der endlich geordneten Mengen wird durch übliche hindu-arabische algebraische Zahlen angegeben, und die Größe der unendlichen Mengen wird durch transfinite Zahlen angegeben.
