Diskrete Funktion vs. kontinuierliche Funktion
Funktionen sind eine der wichtigsten Klassen mathematischer Objekte, die in fast allen Teilgebieten der Mathematik umfassend verwendet werden. Wie ihre Namen andeuten, sind sowohl diskrete Funktionen als auch stetige Funktionen zwei spezielle Arten von Funktionen.
Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die so definiert ist, dass für jedes Element in der ersten Menge der entsprechende Wert in der zweiten Menge eindeutig ist. Sei f eine von der Menge A in die Menge B definierte Funktion. Dann bezeichnet für jedes x ϵ A das Symbol f (x) den eindeutigen Wert in der Menge B, der x entspricht. Man nennt es das Bild von x unter f. Also ist eine Relation f von A nach B genau dann eine Funktion, wenn für jedes xϵ A und y ϵ A; wenn x=y dann f (x)=f (y). Die Menge A heißt Definitionsbereich der Funktion f und ist die Menge, in der die Funktion definiert ist.
Betrachte zum Beispiel die Relation f von R nach R definiert durch f (x)=x + 2 für jedes xϵ A. Dies ist eine Funktion, deren Definitionsbereich R ist, da x=y für jede reelle Zahl x und y f (x)=x + 2=y + 2=f (y) impliziert. Aber die durch g (x)=a definierte Beziehung g von N nach N, wobei 'a' ein Primfaktor von x ist, ist keine Funktion, da g (6)=3 sowie g (6)=2.
Was ist eine diskrete Funktion?
Eine diskrete Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich höchstens abzählbar ist. Dies bedeutet einfach, dass es möglich ist, eine Liste zu erstellen, die alle Elemente der Domäne enthält.
Jede endliche Menge ist höchstens abzählbar. Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen sind Beispiele für höchstens abzählbare unendliche Mengen. Die Menge der reellen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen sind höchstens nicht abzählbar. Beide Mengen sind unzählbar. Das bedeutet, dass es unmöglich ist, eine Liste zu erstellen, die alle Elemente dieser Mengen enthält.
Eine der häufigsten diskreten Funktionen ist die Fakultätsfunktion. f:N U{0}→N rekursiv definiert durch f (n)=n f (n-1) für jedes n ≥ 1 und f (0)=1 heißt Fakultätsfunktion. Beachte, dass seine Domäne N U{0} höchstens abzählbar ist.
Was ist eine stetige Funktion?
F sei eine Funktion, so dass für jedes k im Definitionsbereich von f f (x)→ f (k) als x → k gilt. Dann ist f eine stetige Funktion. Dies bedeutet, dass es möglich ist, f (x) beliebig nahe an f (k) zu bringen, indem x für jedes k im Definitionsbereich von f ausreichend nahe an k gebracht wird.
Betrachte die Funktion f (x)=x + 2 auf R. Es ist ersichtlich, dass für x → k, x + 2 → k + 2 f (x)→ f (k) gilt. Daher ist f eine stetige Funktion. Betrachten Sie nun g für positive reelle Zahlen g (x)=1 wenn x > 0 und g (x)=0 wenn x=0. Dann ist diese Funktion keine stetige Funktion, da der Grenzwert von g (x) nicht existiert (und daher nicht gleich g (0) ist), da x → 0.
Was ist der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Funktionen?
• Eine diskrete Funktion ist eine Funktion, deren Wertebereich höchstens abzählbar ist, aber bei stetigen Funktionen nicht der Fall sein muss.
• Alle stetigen Funktionen ƒ haben die Eigenschaft, dass ƒ(x)→ƒ(k) als x → k für jedes x und für jedes k im Definitionsbereich von ƒ, aber das ist bei einigen diskreten Funktionen nicht der Fall.
