Hyperbel vs. Ellipse
Wenn ein Kegel in verschiedenen Winkeln geschnitten wird, werden verschiedene Kurven durch die Kante des Kegels markiert. Diese Kurven werden oft als Kegelschnitte bezeichnet. Genauer gesagt ist ein Kegelschnitt eine Kurve, die durch Schneiden einer geraden kreisförmigen Kegelfläche mit einer ebenen Fläche erh alten wird. Bei unterschiedlichen Schnittwinkeln ergeben sich unterschiedliche Kegelschnitte.
Sowohl Hyperbel als auch Ellipse sind Kegelschnitte, und ihre Unterschiede lassen sich in diesem Zusammenhang leicht vergleichen.
Mehr über Ellipse
Wenn der Schnittpunkt der Kegelfläche und der ebenen Fläche eine geschlossene Kurve ergibt, spricht man von einer Ellipse. Es hat eine Exzentrizität zwischen null und eins (0<e<1). Er kann auch als Ort der Punktmenge auf einer Ebene definiert werden, so dass die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten zum Punkt konstant bleibt. Diese beiden Fixpunkte werden als „Fokus“bezeichnet. (Denken Sie daran: Im Grundschulunterricht werden die Ellipsen mit einer Schnur gezeichnet, die an zwei festen Stiften befestigt ist, oder mit einer Schnurschlaufe und zwei Stiften.)
Das durch die Brennpunkte verlaufende Liniensegment wird als Hauptachse bezeichnet, und die Achse, die senkrecht zur Hauptachse verläuft und durch den Mittelpunkt der Ellipse verläuft, wird als Nebenachse bezeichnet. Die Durchmesser entlang jeder Achse sind als Querdurchmesser bzw. konjugierter Durchmesser bekannt. Die Hälfte der Hauptachse wird als große Halbachse und die Hälfte der kleinen Achse als kleine Halbachse bezeichnet.
Jeder Punkt F1 und F2 sind als Brennpunkte der Ellipse bekannt und die Längen F1 + PF2 =2a, wobei P ein beliebiger Punkt auf der Ellipse ist. Die Exzentrizität e ist definiert als das Verhältnis zwischen dem Abstand von einem Fokus zum beliebigen Punkt (PF 2) und dem senkrechten Abstand zum beliebigen Punkt von der Leitlinie (PD). Sie ist auch gleich dem Abstand zwischen den beiden Brennpunkten und der großen Halbachse: e=PF/PD=f/a
Die allgemeine Gleichung der Ellipse, wenn die große Halbachse und die kleine Halbachse mit den kartesischen Achsen zusammenfallen, lautet wie folgt.
x2/a2 + y2/b2=1
Die Geometrie der Ellipse hat viele Anwendungen, besonders in der Physik. Die Umlaufbahnen der Planeten im Sonnensystem sind elliptisch mit der Sonne als einem Brennpunkt. Die Reflektoren für Antennen und akustische Geräte haben eine elliptische Form, um die Tatsache auszunutzen, dass jede Emission von einem Fokus auf den anderen Fokus konvergiert.
Mehr über Hyperbel
Die Hyperbel ist auch ein Kegelschnitt, aber mit offenem Ende. Der Begriff Hyperbel bezieht sich auf die zwei getrennten Kurven, die in der Figur gezeigt sind. Anstatt sich wie eine Ellipse zu schließen, setzen sich die Arme oder die Äste der Hyperbel bis ins Unendliche fort.
Die Punkte, an denen die beiden Äste den kürzesten Abstand zueinander haben, werden als Scheitelpunkte bezeichnet. Die durch die Eckpunkte verlaufende Linie wird als Hauptachse oder Querachse betrachtet und ist eine der Hauptachsen der Hyperbel. Auch die beiden Brennpunkte der Parabel liegen auf der Hauptachse. Der Mittelpunkt der Linie zwischen den beiden Scheitelpunkten ist die Mitte, und die Länge des Liniensegments ist die große Halbachse. Die Mittelsenkrechte der großen Halbachse ist die andere Hauptachse, und die beiden Kurven der Hyperbel sind symmetrisch um diese Achse. Die Exzentrizität der Parabel ist größer als eins; e > 1.
Wenn die Hauptachsen mit den kartesischen Achsen zusammenfallen, hat die allgemeine Gleichung der Hyperbel die Form:
x2/a2 – y2/b2=1,
wobei a die große Halbachse und b der Abstand von der Mitte zu einem der beiden Brennpunkte ist.
Die Hyperbeln mit offenen Enden, die der x-Achse zugewandt sind, werden als Ost-West-Hyperbeln bezeichnet. Ähnliche Hyperbeln können auch auf der y-Achse erh alten werden. Diese sind als y-Achsen-Hyperbeln bekannt. Die Gleichung für solche Hyperbeln hat die Form
y2/a2 – x2/b2=1
Was ist der Unterschied zwischen Hyperbel und Ellipse?
• Sowohl Ellipsen als auch Hyperbeln sind Kegelschnitte, aber die Ellipse ist eine geschlossene Kurve, während die Hyperbel aus zwei offenen Kurven besteht.
• Also hat die Ellipse einen endlichen Umfang, aber die Hyperbel hat eine unendliche Länge.
• Beide sind symmetrisch um ihre große und kleine Achse, aber die Position der Leitlinie ist jeweils unterschiedlich. Bei der Ellipse liegt er außerhalb der großen Halbachse, bei der Hyperbel in der großen Halbachse.
• Die Exzentrizitäten der beiden Kegelschnitte sind unterschiedlich.
0 <eEllipse < 1
eHyperbel > 0
• Die allgemeine Gleichung der beiden Kurven sieht gleich aus, aber sie sind unterschiedlich.
• Mittelsenkrechte der Hauptachse schneidet die Kurve in der Ellipse, aber nicht in der Hyperbel.
(Bildquelle: Wikipedia)
