Kartesische Koordinaten vs. Polarkoordinaten
In der Geometrie ist ein Koordinatensystem ein Referenzsystem, in dem Zahlen (oder Koordinaten) verwendet werden, um die Position eines Punktes oder eines anderen geometrischen Elements im Raum eindeutig zu bestimmen. Die Koordinatensysteme ermöglichen es, die geometrischen Probleme in ein numerisches Problem umzuwandeln, das die Grundlage für die Analytische Geometrie bildet.
Das kartesische Koordinatensystem und das Polarkoordinatensystem sind zwei in der Mathematik gebräuchliche Koordinatensysteme.
Kartesische Koordinaten
Das kartesische Koordinatensystem verwendet den reellen Zahlenstrahl als Referenz. In einer Dimension erstreckt sich der Zahlenstrahl von minus unendlich bis plus unendlich. Betrachtet man den Punkt 0 als Startpunkt, kann die Länge zu jedem Punkt gemessen werden. Dies bietet eine eindeutige Möglichkeit, eine Position auf der Linie mit einer einzigen Nummer zu identifizieren.
Das Konzept kann auf zwei und drei Dimensionen erweitert werden, wobei senkrecht zueinander stehende Zahlenreihen verwendet werden. Sie alle teilen den gleichen Punkt 0 als Start. Die Zahlenstrahlen werden als Achsen bezeichnet und oft als X-Achse, Y-Achse und Z-Achse bezeichnet. Der Abstand zu einem Punkt entlang jeder Achse, beginnend bei (0, 0, 0), der auch als Ursprung bekannt ist und als Tupel angegeben wird, ist als Punktkoordinate bekannt. Ein allgemeiner Punkt in diesem Raum kann durch die Koordinate (x, y, z) dargestellt werden. In einem ebenen System mit nur zwei Achsen werden die Koordinaten als (x, y) angegeben. Eine von den Achsen erzeugte Ebene wird als kartesische Ebene bezeichnet und oft mit den Buchstaben der Achsen bezeichnet. Z. B. XY-Ebene.
Dieser allgemeine Punkt kann verwendet werden, um verschiedene geometrische Elemente zu beschreiben, indem der allgemeine Punkt auf bestimmte Verh altensweisen beschränkt wird. Beispielsweise repräsentiert die Gleichung x^2+y^2=a^2 einen Kreis. Anstatt einen Kreis mit Radius a zu zeichnen, ist es möglich, den Kreis auf abstraktere Weise wie oben gezeigt zu bezeichnen.
Polarkoordinaten
Polarkoordinaten verwenden ein Differenzbezugssystem, um einen Punkt zu bezeichnen. Das Polarkoordinatensystem verwendet den Winkel gegen den Uhrzeigersinn von der positiven Richtung der x-Achse und die geradlinige Entfernung zum Punkt als Koordinaten.
Die Polarkoordinaten lassen sich wie oben im zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem darstellen.
Die Transformation zwischen polaren und kartesischen Systemen ist durch folgende Beziehungen gegeben:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=tan-1 (x/y)
Was ist der Unterschied zwischen kartesischen und polaren Koordinaten?
• Kartesische Koordinaten verwenden Zahlenstrahlen als Achsen und können in einer, zwei oder drei Dimensionen verwendet werden. Hat daher die Fähigkeit, lineare, planare und feste Geometrien darzustellen.
• Polarkoordinaten verwenden einen Winkel und eine Länge als Koordinaten und können nur lineare und ebene Geometrien darstellen, obwohl sie in ein Zylinderkoordinatensystem entwickelt werden können, um feste Geometrien darzustellen.
• Beide Systeme werden verwendet, um imaginäre Zahlen darzustellen, indem sie die imaginäre Achse definieren, und spielen eine wichtige Rolle in der komplexen Algebra. Obwohl kartesische Koordinaten in der einfachen Form reelle Zahlen sind (x, y, z), sind die Koordinaten im Polarsystem nicht immer reelle Zahlen; d.h. wenn der Winkel in Grad angegeben ist, sind die Koordinaten nicht reell; Wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist, sind die Koordinaten reelle Zahlen.
