Median vs. Durchschnitt (Mittelwert)
Median und Mittelwert sind Maße der zentralen Tendenz in der deskriptiven Statistik. Oft wird das arithmetische Mittel als Durchschnitt einer Reihe von Beobachtungen betrachtet. Daher wird hier der Mittelwert als Durchschnitt betrachtet. Der Durchschnitt ist jedoch nicht immer das arithmetische Mittel.
Durchschnitt
Das arithmetische Mittel ist die Summe der Datenwerte dividiert durch die Anzahl der Datenwerte, also
[latex]\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2} +x_{3}+…+x_{n}}{n}[/latex]
Wenn die Daten aus einem Stichprobenraum stammen, wird dies als Stichprobenmittelwert ([latex]\bar{x} [/latex]) bezeichnet, was eine beschreibende Statistik der Stichprobe ist. Obwohl es sich um das am häufigsten verwendete beschreibende Maß für eine Stichprobe handelt, ist es keine robuste Statistik. Es reagiert sehr empfindlich auf Ausreißer und Schwankungen.
Betrachte zum Beispiel das Durchschnittseinkommen der Bürger einer bestimmten Stadt. Da alle Datenwerte summiert und dann geteilt werden, beeinflusst das Einkommen einer sehr wohlhabenden Person den Mittelwert erheblich. Daher sind die Mittelwerte nicht immer eine gute Darstellung der Daten.
Auch im Fall eines Wechselsignals ändert sich der Strom, der durch ein Element fließt, periodisch von der positiven Richtung in die negative Richtung und umgekehrt. Wenn wir den durchschnittlichen Strom nehmen, der in einer einzigen Periode durch das Element fließt, ergibt dies eine 0, was bedeutet, dass kein Strom durch das Element geflossen ist, was offensichtlich nicht wahr ist. Daher ist auch in diesem Fall das arithmetische Mittel kein gutes Maß.
Das arithmetische Mittel ist ein guter Indikator, wenn die Daten gleichmäßig verteilt sind. Bei einer Normalverteilung ist der Mittelwert gleich dem Modus und dem Median. Es hat auch die niedrigsten Residuen, wenn der mittlere quadratische Fehler betrachtet wird; daher das beste beschreibende Maß, wenn es erforderlich ist, einen Datensatz durch eine einzelne Zahl darzustellen.
Median
Die Werte des mittleren Datenpunktes nach Anordnung aller Datenwerte in aufsteigender Reihenfolge werden als Median des Datensatzes definiert.
• Wenn die Anzahl der Beobachtungen (Datenpunkte) ungerade ist, dann ist der Median die Beobachtung genau in der Mitte der geordneten Liste.
• Wenn die Anzahl der Beobachtungen (Datenpunkte) gerade ist, dann ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Beobachtungen in der geordneten Liste.
Median teilt die Beobachtung in zwei Gruppen; d. h. eine Gruppe (50 %) von Werten, die höher sind, und eine Gruppe (50 %) von Werten, die niedriger als der Median sind. Mediane werden speziell in schiefen Verteilungen verwendet und stellen Daten ziemlich besser dar als das arithmetische Mittel.
Median vs. Mittelwert (Durchschnitt)
• Sowohl Mittelwert als auch Median sind Maße der zentralen Tendenz und fassen die Daten zusammen. Der Mittelwert ist unabhängig von der Position der Datenpunkte, aber der Median wird anhand der Position berechnet.
• Der Mittelwert ist stark von Ausreißern betroffen, während der Median nicht betroffen ist.
• Daher ist der Median in Fällen stark schiefer Verteilungen ein besseres Maß als der Mittelwert.
• Bei den Standard-Normalverteilungen sind Mittelwert und Median gleich.
