Unterschied zwischen logarithmisch und exponentiell

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-17 13:35

Logarithmisch vs Exponential | Exponentialfunktion vs. Logarithmusfunktion

Funktionen sind eine der wichtigsten Klassen mathematischer Objekte, die in fast allen Teilgebieten der Mathematik umfassend verwendet werden. Wie ihre Namen andeuten, sind sowohl die Exponentialfunktion als auch die Logarithmusfunktion zwei spezielle Funktionen.

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die so definiert ist, dass für jedes Element in der ersten Menge der entsprechende Wert in der zweiten Menge eindeutig ist. Sei ƒ eine von der Menge A in die Menge B definierte Funktion. Dann bezeichnet für jedes x ϵ A das Symbol ƒ(x) den eindeutigen Wert in der Menge B, der x entspricht. Es heißt das Bild von x unter ƒ. Daher ist eine Relation ƒ von A nach B genau dann eine Funktion, wenn für jedes x ϵ A und y ϵ A gilt, wenn x=y dann ƒ(x)=ƒ(y). Die Menge A heißt Definitionsbereich der Funktion ƒ und ist die Menge, in der die Funktion definiert ist.

Was ist eine Exponentialfunktion?

Die Exponentialfunktion ist die durch ƒ(x)=e^x gegebene Funktion, wobei e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) und ist eine transzendente irrationale Zahl. Eine der Besonderheiten der Funktion ist, dass die Ableitung der Funktion gleich sich selbst ist; d.h. wenn y=e^x, dy/dx=e^x Außerdem ist die Funktion eine überall stetig wachsende Funktion mit der x-Achse als Asymptote. Daher ist die Funktion auch eins zu eins. Für jedes x ϵ R haben wir das e^x> 0, und es kann gezeigt werden, dass es auf R ⁺ liegt. Außerdem folgt es der grundlegenden Identität e^x+y=e^xe^y und e⁰ =1. Die Funktion lässt sich auch mit der Reihenentwicklung 1 + x/1 darstellen! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

Was ist eine logarithmische Funktion?

Die logarithmische Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Da die Exponentialfunktion eineindeutig und auf R ⁺ ist, kann eine Funktion g aus der Menge positiver reeller Zahlen in die durch g(y gegebene Menge reeller Zahlen definiert werden)=x, genau dann, wenn y=e^x Diese Funktion g wird als logarithmische Funktion oder am häufigsten als natürlicher Logarithmus bezeichnet. Sie wird mit g(x)=log e^{x=ln x bezeichnet. Da es sich um die Umkehrung der Exponentialfunktion handelt, erh alten wir, wenn wir die Spiegelung des Graphen der Exponentialfunktion über die Linie y=x nehmen, den Graphen der logarithmischen Funktion. Die Funktion ist also asymptotisch zur y-Achse.}

Die logarithmische Funktion folgt einigen Grundregeln, von denen ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y und ln xy=y ln x die wichtigsten sind. Dies ist auch eine zunehmende Funktion, und sie ist überall stetig. Daher ist es auch eins zu eins. Es kann gezeigt werden, dass es auf R. liegt

Was ist der Unterschied zwischen Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion?

• Die Exponentialfunktion ist gegeben durch ƒ(x)=e^{x, während die logarithmische Funktion gegeben ist durch g(x)=ln x, und ersteres ist die Umkehrung von letzteres.}

• Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion ist eine Menge reeller Zahlen, aber der Definitionsbereich der logarithmischen Funktion ist eine Menge positiver reeller Zahlen.

• Der Wertebereich der Exponentialfunktion ist eine Menge positiver reeller Zahlen, aber der Wertebereich der logarithmischen Funktion ist eine Menge reeller Zahlen.