Bogenmaß vs. Bogenlänge
In der Geometrie ist ein Bogen eine oft anzutreffende, nützliche Figur. Im Allgemeinen wird der Begriff Bogen verwendet, um sich auf jede glatte Kurve zu beziehen. Die Länge entlang der Kurve vom Anfangs- bis zum Endpunkt wird als Bogenlänge bezeichnet.
Speziell wird der Begriff Bogen für einen Teil eines Kreises entlang seines Umfangs verwendet. Die Größe des Bogens wird normalerweise durch die Größe des Winkels angegeben, den der Bogen in der Mitte bildet, oder durch die Länge des Bogens. Der in der Mitte liegende Winkel wird auch als Winkelmaß eines Bogens oder informell als Bogenmaß bezeichnet. Sie wird in Grad oder Bogenmaß gemessen.
Die Länge des Bogens unterscheidet sich von der Größe des Bogens, wobei die Länge vom Radius der Kurve und dem Winkelmaß des Bogens abhängt. Diese Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Bogenmaß kann explizit durch die mathematische Formelausgedrückt werden
S=rθ
wobei S die Bogenlänge, r der Radius und θ das Winkelmaß des Bogens im Bogenmaß ist (dies ergibt sich direkt aus der Definition des Bogenmaßes). Aus dieser Beziehung lässt sich leicht die Formel für den Umfang eines Kreises oder den Umfang ableiten. Da der Umfang eines Kreises die Bogenlänge mit einem Winkelmaß von 2π Radianten ist, ist der Umfang
C=2πr
Diese Formeln sind auf allen Ebenen der Mathematik wichtig, und viele Anwendungen können auf der Grundlage dieser einfachen Ideen abgeleitet werden. Tatsächlich basiert die Definition des Bogenmaßes auf der obigen Formel.
Wenn sich der Begriff Bogen auf eine gekrümmte Linie bezieht, die keine kreisförmige Linie ist, muss zur Berechnung der Bogenlänge ein fortgeschrittener Kalkül verwendet werden. Das bestimmte Integral der Funktion, die den Kurvenverlauf zwischen zwei Punkten im Raum beschreibt, ergibt die Bogenlänge.
Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Bogenlänge? • Die Größe eines Bogens wird durch die Länge des Bogens oder das Winkelmaß des Bogens (Bogenmaß) gemessen. Die Bogenlänge ist die Länge entlang der Kurve, während das Winkelmaß des Bogens der Winkel ist, der in der Mitte von einem Bogen begrenzt wird. • Die Bogenlänge wird in Längeneinheiten gemessen, während der Messwinkel in Winkeleinheiten gemessen wird. • Die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Winkelmaß des Bogens ist gegeben durch S=rθ.
