Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion vs. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt. Diese Idee ist sehr verbreitet und wird im täglichen Leben häufig verwendet, wenn wir unsere Chancen, Transaktionen und viele andere Dinge bewerten. Die Ausweitung dieses einfachen Konzepts auf eine größere Anzahl von Ereignissen ist etwas schwieriger. Zum Beispiel können wir die Chancen auf einen Lottogewinn nicht einfach berechnen, aber es ist bequem, eher intuitiv zu sagen, dass die Wahrscheinlichkeit bei einem Würfelwurf bei eins zu sechs liegt, dass wir die Nummer sechs bekommen.
Wenn die Zahl der Ereignisse, die stattfinden können, größer wird oder die Zahl der einzelnen Möglichkeiten groß wird, versagt diese recht einfache Vorstellung von Wahrscheinlichkeiten. Daher muss ihm eine solide mathematische Definition gegeben werden, bevor Probleme mit höherer Komplexität angegangen werden.
Wenn die Anzahl der Ereignisse, die in einer einzelnen Situation stattfinden können, groß ist, ist es unmöglich, jedes Ereignis einzeln zu betrachten, wie im Beispiel des Würfelwurfs. Daher wird der gesamte Satz von Ereignissen zusammengefasst, indem das Konzept der Zufallsvariablen eingeführt wird. Es ist eine Variable, die die Werte verschiedener Ereignisse in dieser bestimmten Situation (oder dem Abtastraum) annehmen kann. Es gibt einfachen Ereignissen in der Situation einen mathematischen Sinn und eine mathematische Art, das Ereignis anzugehen. Genauer gesagt ist eine Zufallsvariable eine Realwertfunktion über den Elementen des Abtastraums. Die Zufallsvariablen können entweder diskret oder kontinuierlich sein. Sie werden normalerweise mit den Großbuchstaben des englischen Alphabets bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (oder einfach die Wahrscheinlichkeitsverteilung) ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeitswerte für jedes Ereignis zuweist; d.h. sie stellt eine Beziehung zu den Wahrscheinlichkeiten für die Werte her, die die Zufallsvariable annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ist für diskrete Zufallsvariablen definiert.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist das Äquivalent der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion für die kontinuierlichen Zufallsvariablen, gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine bestimmte Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.
Wenn X eine diskrete Zufallsvariable ist, wird die als f (x)=P (X=x) gegebene Funktion für jedes x innerhalb des Bereichs von X als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion bezeichnet. Eine Funktion kann genau dann als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion dienen, wenn die Funktion die folgenden Bedingungen erfüllt.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Eine Funktion f (x), die über der Menge der reellen Zahlen definiert ist, heißt Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der stetigen Zufallsvariablen X, genau dann, wenn
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx für beliebige reelle Konstanten a und b.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sollte auch die folgenden Bedingungen erfüllen.
1. f (x) ≥ 0 für alle x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Sowohl die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion als auch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion werden verwendet, um die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten über den Stichprobenraum darzustellen. Üblicherweise werden diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen genannt.
Für die statistische Modellierung werden Standard-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen abgeleitet. Die Normalverteilung und die Standardnormalverteilung sind Beispiele für kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Binomialverteilung und Poisson-Verteilung sind Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Was ist der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?
• Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sind über den Stichprobenraum definierte Funktionen, um jedem Element den relevanten Wahrscheinlichkeitswert zuzuordnen.
• Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen werden für die diskreten Zufallsvariablen definiert, während Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für die kontinuierlichen Zufallsvariablen definiert werden.
• Verteilungen von Wahrscheinlichkeitswerten (d.h. Wahrscheinlichkeitsverteilungen) werden am besten durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion dargestellt.
• Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion kann als Werte in einer Tabelle dargestellt werden, aber das ist für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nicht möglich, da die Variable stetig ist.
• Beim Plotten ergibt die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ein Balkendiagramm, während die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eine Kurve ergibt.
• Die Höhe/Länge der Balken der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion muss sich zu 1 addieren, während die Fläche unter der Kurve der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sich zu 1 addieren muss.
• In beiden Fällen müssen alle Werte der Funktion nicht negativ sein.
