Beziehung vs. Funktion
Ab der Oberstufenmathematik wird Funktion zu einem geläufigen Begriff. Obwohl es ziemlich oft verwendet wird, wird es ohne richtiges Verständnis seiner Definition und Interpretation verwendet. Dieser Artikel konzentriert sich auf die Beschreibung dieser Aspekte einer Funktion.
Beziehung
Eine Relation ist eine Verbindung zwischen den Elementen zweier Mengen. In einer formelleren Umgebung kann es als Teilmenge des kartesischen Produkts von zwei Mengen X und Y beschrieben werden. Das kartesische Produkt von X und Y, bezeichnet als X × Y, ist eine Menge geordneter Paare, die aus Elementen aus den beiden Mengen bestehen, oft als (x, y) bezeichnet. Die Sets müssen nicht unterschiedlich sein. Beispielsweise wird eine Teilmenge von Elementen aus A×A als Relation auf A bezeichnet.
Funktion
Funktionen sind eine spezielle Art von Relationen. Diese spezielle Art von Beziehung beschreibt, wie ein Element einem anderen Element in einer anderen Menge oder derselben Menge zugeordnet wird. Damit die Relation eine Funktion ist, müssen zwei spezifische Anforderungen erfüllt sein.
Jedes Element des Satzes, an dem jede Zuordnung beginnt, muss ein zugehöriges/verknüpftes Element im anderen Satz haben.
Die Elemente in der Menge, bei der die Abbildung beginnt, können nur mit einem und nur einem Element in der anderen Menge assoziiert/verknüpft werden
Die Menge, von der die Beziehung abgebildet wird, ist als Domäne bekannt. Die Menge, in die die Relation abgebildet wird, wird als Codomain bezeichnet. Die Teilmenge der Elemente in der Codomain, die nur die mit der Relation verknüpften Elemente enthält, wird als Range bezeichnet.
Technisch gesehen ist eine Funktion eine Beziehung zwischen zwei Mengen, wobei jedes Element in einer Menge eindeutig einem Element in der anderen zugeordnet ist.
Beachten Sie Folgendes
- Jedes Element in der Domäne wird in die Codomain abgebildet.
- Mehrere Elemente der Domäne sind mit demselben Wert in der Kodomäne verbunden, aber ein einzelnes Element der Domäne kann nicht mit mehr als einem Element der Kodomäne verbunden werden. (Mapping muss eindeutig sein)
- Wenn jedes einzelne Element der Domäne in unterschiedliche und eindeutige Elemente in der Kodomäne abgebildet wird, wird die Funktion als „Eins-zu-Eins“-Funktion bezeichnet.
Codomain enthält andere Elemente als diejenigen, die mit den Elementen der Domain verbunden sind. Der Bereich muss nicht die Codomain sein. Wenn die Codomain gleich dem Bereich ist, wird die Funktion als „onto“-Funktion bezeichnet
Wenn die Werte, die von der Funktion angenommen werden können, reell sind, spricht man von einer reellen Funktion. Die Elemente von codomain und domain sind reelle Zahlen.
Funktionen werden immer mit Variablen bezeichnet. Die Elemente der Kodomäne werden symbolisch durch die Variable repräsentiert. Die Notation f(x) repräsentiert die Elemente des Bereichs. Die Beziehung kann mit dem Ausdruck in der Form f(x)=x^2 dargestellt werden. Es besagt, dass das Element der Domäne innerhalb der Codomain auf das Quadrat des Elements abgebildet wird.
Was ist der Unterschied zwischen Funktion und Relation?
• Funktionen sind eine spezielle Art von Relationen.
• Beziehung basiert auf dem kartesischen Produkt zweier Mengen.
• Funktion basiert auf Relationen mit bestimmten Eigenschaften.
• Wertebereich einer Funktion muss so in den Wertebereich abgebildet werden, dass jedes Element einen eindeutig bestimmten, korrespondierenden Wert im Wertebereich hat. Eine Beziehung kann ein einzelnes Element mit mehreren Werten verknüpfen.
