Hauptunterschied – Postulat vs. Theorem
Postulate und Theoreme sind zwei gebräuchliche Begriffe, die in der Mathematik häufig verwendet werden. Ein Postulat ist eine Aussage, die ohne Beweis als wahr angenommen wird. Ein Theorem ist eine Aussage, die bewiesen werden kann. Dies ist der Hauptunterschied zwischen Postulat und Theorem. Theoreme basieren oft auf Postulaten.
Was ist ein Postulat?
Ein Postulat ist eine Aussage, die ohne Beweis als wahr angenommen wird. Postulat wird vom Oxford-Wörterbuch als „Ding, das als Grundlage für Überlegungen, Diskussionen oder Überzeugungen vorgeschlagen oder als wahr angenommen wird“und vom American Heritage-Wörterbuch als „etwas, das ohne Beweis als selbstverständlich oder allgemein akzeptiert angenommen wird, insbesondere wenn es verwendet wird, definiert als Argumentationsgrundlage“.
Postulate werden auch als Axiome bezeichnet. Postulate müssen nicht bewiesen werden, da sie sichtbar richtig sind. Beispielsweise ist die Aussage, dass zwei Punkte eine Linie ergeben, ein Postulat. Postulate sind die Grundlage, aus der Theoreme und Lemmata erstellt werden. Ein Satz kann aus einem oder mehreren Postulaten abgeleitet werden.
Im Folgenden sind einige grundlegende Merkmale aufgeführt, die alle Postulate haben:
- Postulate sollten leicht verständlich sein – sie sollten nicht viele schwer verständliche Wörter enth alten.
- Sie sollten konsistent sein, wenn sie mit anderen Postulaten kombiniert werden.
- Sie sollten unabhängig voneinander verwendet werden können.
Allerdings sind einige Postulate – wie zum Beispiel Einsteins Postulat, dass das Universum homogen ist – nicht immer richtig. Ein Postulat kann nach einer neuen Entdeckung offensichtlich falsch werden.
Ist die Summe der Innenwinkel α und β kleiner als 180°, so treffen sich die beiden endlos entstehenden Geraden auf dieser Seite.
Was ist ein Satz?
Ein Theorem ist eine Aussage, deren Wahrheit bewiesen werden kann. Das Oxford-Wörterbuch definiert Theorem als „allgemeine Aussage, die nicht selbstverständlich ist, sondern durch eine Argumentationskette bewiesen wird; eine Wahrheit, die durch akzeptierte Wahrheiten festgestellt wird“, und Merriam-Webster definiert sie als „eine Formel, Aussage oder Aussage in Mathematik oder Logik, die aus anderen Formeln oder Aussagen abgeleitet wird oder abgeleitet werden soll“.
Theoreme können durch logisches Denken oder durch Anwendung anderer bereits bewiesener Theoreme bewiesen werden. Ein Satz, der bewiesen werden muss, um einen anderen Satz zu beweisen, heißt Lemma. Sowohl Lemmata als auch Theoreme basieren auf Postulaten. Ein Theorem besteht normalerweise aus zwei Teilen, die als Hypothese und Schlussfolgerungen bekannt sind. Der Satz des Pythagoras, der Vierfarbensatz und der letzte Satz von Fermat sind einige Beispiele für Sätze.
Visualisierung des Satzes des Pythagoras
Was ist der Unterschied zwischen Postulat und Theorem?
Definition:
Postulat: Postulat ist definiert als „eine als wahr akzeptierte Aussage als Grundlage für Argumente oder Schlussfolgerungen.“
Theorem: Theorem ist definiert als „allgemeiner Satz, der nicht selbstverständlich ist, aber durch eine Argumentationskette bewiesen wird; eine Wahrheit, die durch akzeptierte Wahrheiten begründet wird.“
Beweis:
Postulat: Ein Postulat ist eine Aussage, die ohne Beweis als wahr angenommen wird.
Theorem: Ein Theorem ist eine Aussage, die als wahr bewiesen werden kann.
Beziehung:
Postulate: Postulate sind die Grundlage für Theoreme und Lemmata.
Theorem: Theoreme basieren auf Postulaten.
Nachzuweisen:
Postulat: Postulate müssen nicht bewiesen werden, da sie das Offensichtliche aussagen.
Theorem: Theoreme können durch logisches Denken oder durch Anwendung anderer Theoreme bewiesen werden, die sich als wahr erwiesen haben.
