Arithmetische vs. geometrische Reihen
Die mathematische Definition einer Reihe hängt eng mit den Folgen zusammen. Eine Folge ist eine geordnete Menge von Zahlen und kann entweder eine endliche oder eine unendliche Menge sein. Eine Folge von Zahlen, bei der die Differenz zwischen zwei Elementen eine Konstante ist, wird als arithmetische Progression bezeichnet. Eine Folge mit einem konstanten Quotienten aus zwei aufeinanderfolgenden Zahlen wird als geometrische Progression bezeichnet. Diese Progressionen können entweder endlich oder unendlich sein, und wenn endlich, ist die Anzahl der Terme zählbar, sonst unzählbar.
Im Allgemeinen kann die Summe der Elemente einer Progression als Serie definiert werden. Die Summe einer arithmetischen Folge wird als arithmetische Reihe bezeichnet. Ebenso wird die Summe einer geometrischen Folge als geometrische Reihe bezeichnet.
Mehr über arithmetische Reihen
In einer arithmetischen Reihe haben die aufeinanderfolgenden Glieder eine konstante Differenz.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; wobei a2 =a1 + d, a3 =a2 + d und so weiter.
Dieser Unterschied d ist als gemeinsamer Unterschied bekannt, und der Term nth ist gegeben durch an =a 1+ (n-1)d; wobei a1 der erste Term ist.
Das Verh alten der Reihe ändert sich basierend auf der gemeinsamen Differenz d. Wenn die gemeinsame Differenz positiv ist, tendiert die Progression zu positiv unendlich, und wenn die gemeinsame Differenz negativ ist, tendiert sie zu negativ unendlich.
Die Summe der Reihen kann durch die folgende einfache Formel erh alten werden, die zuerst vom indischen Astronomen und Mathematiker Aryabhata entwickelt wurde.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
Die Summe Sn kann je nach Anzahl der Terme entweder endlich oder unendlich sein.
Mehr über geometrische Reihen
Eine geometrische Reihe ist eine Reihe, bei der der Quotient der aufeinanderfolgenden Zahlen konstant ist. Es ist eine wichtige Serie, die aufgrund der Eigenschaften, die sie besitzt, beim Studium der Serie gefunden wurde.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
Basierend auf dem Verhältnis r kann das Verh alten der Reihe wie folgt kategorisiert werden. r={|r|≥1 Reihe divergiert; r≤1 Reihe konvergiert}. Auch wenn r<0 oszilliert die Reihe, d.h. die Reihe hat wechselnde Werte.
Die Summe der geometrischen Reihen kann mit der folgenden Formel berechnet werden. Sn =a(1-r) / (1-r); wobei a der Anfangsterm und r das Verhältnis ist. Wenn das Verhältnis r≤1 ist, konvergiert die Reihe. Für eine unendliche Reihe ist der Konvergenzwert gegeben durch Sn=a / (1-r).
Geometrische Reihen haben zahlreiche Anwendungen in den Bereichen Physik, Technik und Wirtschaft
Was ist der Unterschied zwischen arithmetischen und geometrischen Reihen?
• Eine arithmetische Reihe ist eine Reihe mit konstanter Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern.
• Eine geometrische Reihe ist eine Reihe mit einem konstanten Quotienten zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern.
• Alle unendlichen arithmetischen Reihen sind immer divergent, aber je nach Verhältnis können die geometrischen Reihen entweder konvergent oder divergent sein.
• Die geometrische Reihe kann Schwankungen in den Werten haben; das heißt, die Zahlen wechseln abwechselnd ihr Vorzeichen, aber die arithmetische Reihe kann keine Schwingungen haben.
